deberes de topología

Question

Soy nuevo en la topología y, por lo tanto, aún no soy muy bueno en ella. Tengo las siguientes preguntas, que tengo ansewer, por favor ayúdame a verificar lo que no es correcto y lo que falta en mis respuestas.

1. Dejemos que $X$ sea un conjunto y $f:X\to\mathbb{R}$ una función. Definir $$d: X\times X\rightarrow \mathbb{R}\quad d(x,y)=|f(x)-f(y)|$$ Indique qué propiedades $f$ debe cumplir para $d$ ser una métrica, y demostrar que son necesarias y suficientes.

mi respuesta:

$f$ debe cumplir

M1: $$d(f(x),f(y))=|f(x)-f(y)|=0\iff f(x)=f(y)$$ $$|f(x)-f(y)|=0\Rightarrow f(x)-f(y)=0\iff f(x)=f(y)$$ y al revés $$f(x)=f(y)\Rightarrow d(f(x),f(y))=|f(x)-f(y)|=|0|=0$$

M2: $$d(f(x),f(y))=|f(x)-f(y)|=|-(f(y)-f(x))|=|f(y)-f(x)|=d(f(y),f(x))$$

M3: $$d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)$$ $$d(f(x),f(y))=|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|=d(f(x),f(z))+d(f(z),f(y))$$

1. Demostrar que la secuencia $\{a_n\}$ definido por $a_0=1$ , $a_{n+1}=1+1/a_n$ para $n\in\mathbb{N}$ es convergente en $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana, y determinar después su límite. ¿Puedes interpretar el límite geométricamente?

mi respuesta:

$$d(x_{n+1},x_n )≤1/2\quad d(x_n,x_{n-1} )\Rightarrow d(x_n,x_m )≤(1/2)^{n+m-1} d(x_1,x_0 )$$

Sabemos que $(1/2)^{n+m-1}$ va contra 0, por lo que $d(x_n,x_m )$ va contra 0 también, por lo tanto tenemos que encontrar el límite. Si la convergencia exacta será $a_n\rightarrow a, a_{n+1}\rightarrow a$ va contra el mismo número:

$$a=1+1/a$$ $$a=(√5+1)/2 og-(√5-1)/2$$

1. Demostrar que $S\subset\mathbb {R}$ se cumple que inf(S) = -sup(-S), donde $-S=\{-s:s\in S\}$ .

Mi respuesta:

Sabemos que $inf⁡(S)≤s$ para todos $s$ . Por lo tanto, $-inf⁡(S)≥s$ . En otras palabras, $-inf⁡(S)$ es un límite superior para $–S$ . Por lo tanto, $sup⁡(-S)≤-inf⁡(S)⟹inf⁡(S)≤-sup⁡(-S)$ . Esta es la mitad del problema. Pero teniendo esto en cuenta, puedes averiguar la otra dirección. En otras palabras, usted quiere mostrar $inf⁡(S)≥-sup⁡(-S)$ . Así que se puede decir que desde $-S$ está acotado por encima, entonces $-s≤sup⁡(-S)⟹s ≥-sup⁡(-S)$ . Por lo tanto, $-sup⁡(-S)$ es un límite inferior para $S$ lo que implica $inf⁡(S)≥-sup⁡(-S)$ . Finalmente $inf⁡(S)≤-sup⁡(-S)$ y $inf⁡(S)≥-sup⁡(-S)$ implica $inf⁡(S)=-sup⁡(-S).$

Answer 1

Debes centrarte especialmente en la condición $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ . Ya has caracterizado lo que significa la fórmula de la izquierda, pero aún no la has comparado con la de la derecha, ni has dicho lo que significa para $f$ .

Debe indicar que las demás condiciones para ser una métrica no imponen ninguna otra condición a $f$ . Por ejemplo, demuestre que la desigualdad del triángulo es válida para cualquier $f$ . Sólo la condición mencionada en el primer párrafo supone una diferencia.

Para el segundo problema, una secuencia puede converger como máximo a un valor, por lo que sólo una de las posibilidades de $a$ puede ser correcta. ¿Cuál es?

Tu tercera respuesta parece correcta; sólo ten en cuenta los errores tipográficos (por ejemplo, quieres "por tanto, $-\inf(S) \geq -s$ ").