Límite de $a(k)$ $ \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{(n+1-k)!} = 1 $

Question

Para n = 1, 2, 3 ... (número natural)

$ \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{(n+1-k)!} = 1 $

$ a_1 = 1, \ a_2 = \frac{1}{2}, \ a_3 = \frac{7}{12} \cdots $

¿Cuál es el límite de {$ a_k $}

$ \lim_{k \to \infty} a_k $ = ?

No tengo idea de por donde empezar.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \frac{x}{1-x} &=\sum_{n=1}^\infty x^n\\ &=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{(n-k+1)!}x^n\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{a_k}{(n-k+1)!}x^n\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{a_k}{(n+1)!}x^{n+k}\\ &=\frac{e^x-1}{x}\sum_{k=1}^\infty a_kx^k\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^\infty a_kx^k=\frac{x^2}{(e^x-1)(1-x)}\etiqueta{2} $$ Si $a_k$ límite a algunos $b$, $x\to1$ tendríamos $$ \begin{align} b &=\lim_{x\to1^-}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_kx^k}{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^k}\\ &=\lim_{x\to1^-}\frac{x^2}{e^x-1}\\[9pt] &=\frac1{e-1}\tag{3} \end{align} $$ Ahora que tenemos una idea de lo que el límite sería, vamos a tratar de demostrarlo.

A partir de la definición de la fórmula, $$ a_n=1-\sum_{k=1}^\infty\frac{a_{n-k}}{(k+1)!}\la etiqueta{4} $$ donde definimos $a_k=0$$k\le0$.

Por lo tanto, si dejamos $c_n=a_n-\frac1{e-1}$,$n\gt1$, tenemos $$ c_n=-\sum_{k=1}^\infty\frac{c_{n-k}}{(k+1)!}\la etiqueta{5} $$ Tenga en cuenta que si $|c_k|\lt c\,(4/5)^k$ $k\lt n$ $$ \begin{align} |c_n| &\le\sum_{k=1}^\infty\frac{c\,(4/5)^{n-k}}{(k+1)!}\\ &=c\,(4/5)^n\sum_{k=1}^\infty\frac{(4/5)^{-k}}{(k+1)!}\\ &=c\,(4/5)^n\frac45\left(e^{5/4}-1-\frac54\right)\\[9pt] &\le c\,(4/5)^n\tag{6} \end{align} $$ Desde $c_1=\frac{e-2}{e-1}$$c_n=-\frac1{e-1}$$n\le0$, podemos usar $c=\frac1{e-1}$$(6)$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \left|\,a_n-\frac1{e-1}\,\right| &=|c_n|\\ &\le\frac{(4/5)^n}{e-1}\tag{7} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac1{e-1}\etiqueta{8} $$

Answer 2

Poner $\displaystyle f(x)=\sum_{k\geq 1} a_k x^{k-1}$, $\displaystyle g(x)=\sum_{l\geq 0} \frac{x^l}{(l+1)!}=\frac{\exp(x)-1}{x}$, y $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)=\sum_{n\geq 0}c_n x^n$. El coeficiente de $c_n$ es igual a $1$ si $n=0$, y para $n\geq 1$: $$c_n=\sum_{k-1+l=n, k\geq 1, l\geq 0}\frac{a_k}{(l+1)!}=\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{(n+1-k)!}=1$$

Por lo tanto:

$$(\frac{\exp(x)-1}{x})f(x)=\sum_{n\geq 0}x^n=\frac{1}{1-x}$$ y $\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)(\exp(x)-1)}$. Pon ahora $\displaystyle r(x)=(1-x)f(x)=\sum_{m\geq 0}d_m x^m=\frac{x}{\exp(x)-1}$. Tenemos $d_0=a_1=1$, y para $m\geq 1$, $d_m=a_{m+1}-a_{m}$.

El radio de convergencia de la energía de la serie de $r(x)$$\geq 2\pi$, debido a que es regular en $x=0$, y la función de $\exp(z)-1$ es distinto de cero para $z\in \mathbb{C}$, $z\not = 0$ y $|z|<2\pi$. Por lo tanto podemos poner $x=1$ en la fórmula $\displaystyle r(x)=\frac{x}{\exp(x)-1}$, por lo tanto $\displaystyle r(1)=\frac{1}{e-1}$.

Ahora $r(1)$ es el límite de $d_0+\cdots d_{n-1}=t_n$ si $n\to +\infty$; pero uno puede ver fácilmente que $t_n=a_n$, lo $\displaystyle a_n\to \frac{1}{e-1}$.