Unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt[4]2]$

Question

¿Cómo se podía calcular las unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt[4]2]$? Según una fuente, se puede demostrar que las unidades fundamentales son $1 + \sqrt[4]2$$1 + \sqrt{2}$, pero no especifica la prueba de ello.

Answer 1

Aquí es un argumento que, al menos, demostrar que $1+\sqrt{2}$ no es la potencia de cualquier unidad en $\mathbb Z[2^{1/4}].$

Supongamos que hay una unidad de $u \in \mathbb Z[2^{1/4}]$ que $u^2 = 1+\sqrt{2}$. Desde $1+\sqrt{2}$ es una unidad fundamental de $\mathbb Z[\sqrt{2}],$ vemos que $u \not\in \mathbb Q(\sqrt{2})$, y así $\mathbb Q(2^{1/4}) = \mathbb Q(\sqrt{2})(u^{1/2}).$

Pero un local de cálculo en $2$ va a mostrar que el poder de la $2$ dividiendo el discriminante de $\mathbb Z_2[2^{1/4}]$ es mayor que la división de la discriminante de $\mathbb Z_2[\sqrt{2},u^{1/2}]$ para cualquier unidad de $u \in \mathbb Z_2[\sqrt{2}]^{\times}$.

Así lo afirma la igualdad no puede sostener, y por lo $u$ no debe existir.