por qué la operación de adición de un anillo necesitan ser conmutativa?

Question

La definición de un anillo requiere la adición operación conmutativa. Pero, ¿por qué ha de ser?

Answer 1

Definiciones en matemáticas no tiene que ser nada.

Voy a repetir esto porque la gente dice que el tipo de cosas que usted está diciendo mucho y por lo tanto el siguiente tipo de cosas probablemente no lo dijo basta:

Definiciones en matemáticas puede ser cualquier cosa que quieras.

Podríamos haber decidido que el anillo era una cosa con cinco operaciones que satisfecho treinta axiomas si queríamos. (En realidad, nos hizo hacer algo como esto: si usted desempaquetar la definición de una C*-álgebra lo suficiente, resulta ser una cosa con cinco operaciones que cumplan veinte-tres axiomas. Pero esto no viene al caso.) En su lugar, el históricamente exacto, la respuesta es que elegimos el anillo de axiomas porque capturaron una cosa que hemos visto mucho en las matemáticas y quería hablar.

Es un buen ejercicio para demostrar que conmutatividad en realidad, sigue a partir de los otros axiomas, en particular, es necesario que la distributividad de mantener. Pero esto no es realmente el punto: usted podría preguntar ¿por qué exigimos a la multiplicación de distribuir a través de la adición, y de nuevo el históricamente exacto, la respuesta es que vimos esto sucede mucho y quería hablar de ello.

Si tu pregunta es algo más parecido a "¿por qué es esto una buena idea?" (que es muy diferente de la pregunta "¿por qué tiene que ser de esta manera?", porque simplemente no lo hace), entonces, una posible respuesta es la siguiente: en la misma forma que los grupos axiomatize simetrías de conjuntos, anillos axiomatize simetrías de abelian grupos. Es decir, si $A$ es un grupo abelian, entonces el conjunto

$$\text{End}(A) = \text{Hom}(A, A)$$

de abelian grupo homomorphisms de $A$ $A$naturalmente se forma un anillo, con la adición dada por pointwise la adición y la multiplicación dada por la composición. Esto es falso, si no requerimos $A$ a ser conmutativa. Por el contrario, cada anillo se plantea como un sub-anillo del anillo de endomorphisms de algunos abelian grupo; esto es "del teorema de Cayley para los anillos."

Answer 2

Usted puede ser que desee comprobar hacia fuera de la página de la Wikipedia en cerca de los anillos, las estructuras que tienen dos operaciones, la suma y la multiplicación, pero la suma no está obligado a ser conmutativa. También, las operaciones son compatibles en un sentido limitado, hay una cara de la distribución de la multiplicación sobre la adición.