La prueba de que la característica de Euler es aditivo

Question

Estoy leyendo a través de un conjunto de notas que se supone que la característica de Euler es aditivo, pero no da una prueba, así que me gustaría entender por qué esto es.

Deje $A_n$ ser un finitely generado Abelian grupo, distinto de cero para $0<n<k$. Considerar que el largo de la secuencia exacta

$ \cdots \rightarrow A_n \rightarrow B_n \rightarrow C_n \rightarrow A_{n-1} \rightarrow B_{n-1} \rightarrow C_{n-1} \rightarrow \cdots $

donde $B_n$, $C_n$ se define de manera similar a $A_n$.

Sé que la característica de Euler de $A$ está dado por $\chi(A) = \sum_0^k (-1)^n \text{rank}(A_n)$, con definiciones similares para$B$$C$. Quiero demostrar que la $\chi(B) = \chi(A) + \chi(C)$.

Las notas dicen que para una secuencia exacta

$0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0$

de finitely generado Abelian grupos $X,Y,Z$, tenemos el resultado de rango($Y$) $=$ rango($X$) + rango($Z$), y que la aditividad de la característica de Euler de la siguiente manera a partir de este hecho, pero no veo cómo.

Answer 1

Sugerencia. Descomponer la secuencia exacta de empezar con muchas corto exacta secuencias, cada una correspondiente a los kernel y la imagen de los mapas en la primera.

Por ejemplo, si $f:A\to B$ es un mapa, se puede construir a corto exacta de las secuencias de $$0\to\ker f\to A\to\operatorname{im}f\to0$$.

Más tarde. El punto de la sugerencia fue para usted el uso de la observación proporcionada por sus notas de sí mismos. $\def\rk{\operatorname{rk}}\def\im{\operatorname{im}}$Supongamos que tenemos una exacta complejo $$0\xrightarrow{f_{-1}} X_0\xrightarrow{f_0} X_1\xrightarrow{f_1} X_2\xrightarrow{f_2}\cdots\xrightarrow{f_{n-1}} X_n\xrightarrow{f_n} 0$$ For each $i\in\{-1,\dots,n\}$ we have the map $f_i:X_i\a X_{i+1}$ (letting $X_{-1}=X_{n+1}=0$ for convenience) so we have a short exact sequence $$0\to\ker f_i\to X_i\to\im f_i\to 0$$ so, assuming we know that the rank is additive in short exact sequences, we have $$\rk X_i=\rk\ker f_i+\rk\im f_i.$$ Multiplying this by $(-1)^i$ and summing over $i$ we see then that $$\sum_{i=-1}^n(-1)^i\rk X_i=\sum_{i=-1}^n(-1)^i\rk\ker f_i+\sum_{i=-1}^n(-1)^i\rk\im f_i. \tag{1}$$ Now, the original exact sequence being exact, we have $\ker f_{i+1}\cong\im f_i$ for all $i$, so of course $\rk\ker f_{i+1}=\rk\im f_i$ for all $i$. Using this in the right hand side of (1) we easily see that in fact $$\sum_{i=-1}^n(-1)^i\rk X_i=0.$$ En tu caso, mi $X_i$s $A$s, $B$s y $C$s, por lo que sólo necesita para cambiar el nombre de las cosas