Cuerda de una parábola $y^{2}= 4ax$

Question

Demostrar que en el eje de cualquier parábola $y^2=4ax$ hay un cierto punto $K$ que tiene la propiedad de que, si una cuerda $PQ$ de la parábola se dibuja a través de ella, entonces $$\frac{1}{PK^2}+\frac{1}{QK^2}$$ es la misma para todas las posiciones de la cuerda.Encuentra también las coordenadas del punto $K$ .

Podemos aplicar las ecuaciones paramétricas de una parábola Sean los puntos $P$ y $Q$ sea $(at_1^{2},2at_1)$ y $(at_2^{2}, 2at_2)$

Así que la ecuación de la cuerda sería $$y(t_1+t_2)=2x+2at_1t_2$$

De ahí que tengamos que las coordenadas de $K$ son $(at_1t_2,0)$

Ahora nuestro objetivo es demostrar que $\frac{1}{PK^2}+\frac{1}{QK^2}$ es independiente de $t_1$ y $t_2$ . Intenté y apliqué la fórmula de la distancia pero no hubo beneficio.

Answer 1

Una pista: Esto es más allá de ¡fácil! :- $)$ La suma en cuestión se mantiene constante, independientemente de la posición de P ¿Correcto? Así que deja que $K=(b,0),$ y luego tomar dos posiciones para P : cuando P está justo encima de $($ o justo debajo $)$ K y cuando $P\to\infty$ . ¿Dónde está Q ¿en estos dos casos? ¿Puede deducir el valor de b de igualar las dos sumas? Acabo de hacerlo, y he utilizado GeoGebra para verificar el resultado.