Bueno, espero que una prueba aquí mismo sea suficiente en lugar de algún recurso. Esta es una prueba bastante bonita para el caso de los enteros gaussianos, pero no se puede generalizar para los otros dominios de enteros cuadráticos sin poner más trabajo al menos.
Definir la norma $N(a+bi) = a^2 + b^2$ . Es sencillo comprobar que es multiplicativo. Ahora, consideremos un primo $p \equiv 3 \pmod{4}$ . Supongamos que no es inerte, es decir, que se factoriza como $p = \alpha \beta$ para algunos $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$ y ninguno de ellos son unidades.. Entonces es fácil ver $N(\alpha) = N(\beta) = p$ . Sin embargo, la ecuación $a^2 + b^2 = p$ no tiene soluciones en módulo $4$ por lo que hemos llegado a una contradicción por lo que los primos $3 \pmod{4}$ permanecen inertes.
Ahora a probar los primos $1 \pmod{4}$ dividir. Basta con mostrar $p = a^2 + b^2$ tiene una solución donde $a,b$ son números enteros. Sea $z$ denotan el menor valor de $\sqrt{-1} \pmod{p}$ . Ahora defina $\mathcal L = \{(a,b) \in \mathbb{Z}^2 | a \equiv zb \pmod{p}\}$ . Es fácil de comprobar $\mathcal L$ es un entramado cuyo paralelogramo fundamental tiene área $p$ . Ahora por Teorema de Minkowski uno tiene $\mathcal L$ contiene un punto de red no trivial dentro del círculo $x^2 + y^2 < 2p$ . Llama a este punto $(a,b)$ . Pero entonces $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{p}$ basado en la definición de la red, por lo que debe ser $a^2 + b^2 = p$ . Pero entonces $p = (a+bi)(a-bi)$ probando los factores, así que hemos terminado.
Probando $2$ ramifica es trivial, ya que sólo es $2 = -i(1+i)^2$ .
