La descomposición de la $\mathbb{C}_p^*$

Question

Estoy buscando un grupo topológico de la descomposición de $\mathbb{C}_p^*$. Sé que puedo escribir

$\mathbb{C}_p^*\cong p^\mathbb{Q}\times \mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}^* \cong p^\mathbb{Q}\times \mu_\infty^{(p)} \times (1+\mathfrak{m}\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p})$,

donde $\mu_\infty^{(p)}$ es el grupo de prime-a-$p$ fin de raíces de la unidad, $\mathfrak{m}$ es el máximo ideal en $\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}$, y todas las descomposiciones son topológicas. Mi pregunta es:

Hay un subgrupo cerrado $K$ $1+\mathfrak{m}\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}$ tal que

$1+\mathfrak{m}\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p} \cong \mu_{p^\infty}\times K$

como topológica grupos?

Answer 1

Nota, sólo para orientarnos, que hay una breve secuencia exacta $$0 \a \mu_{p^{\infty}} \1 + \mathfrak m\mathcal O_{{\mathbb C}_p} \ \mathbb C_p \a 0,$$ with the second map given by $\log$. Thus if the $K$ you are looking for exists, it is isomorphic to $\mathbb C_p$.

Ahora, en cuanto a si existe:

$1+p \mathcal O_{{\mathbb C}_p}$ es un subgrupo cerrado de $1 + \mathfrak m\mathcal O_{{\mathbb C}_p},$ que se asigna isomorphically a través de $\log$$p\mathcal O_{{\mathbb C}_p}$. (Aquí estoy asumiendo $p$ impar, de lo contrario, si $p = 2$, se debe reemplazar el factor de $p,$ es decir $2$, por un factor de $4$.)

Por lo $\mu_{p^{\infty}} \times 1 + p \mathcal O_{{\mathbb C}_p}$ incrusta en $1+\mathfrak m \mathcal O_{{\mathbb C}_p}$, y la proyección sobre el primer factor, se extiende a una morfismos $1 + \mathfrak m\mathcal O_{{\mathbb C}_p} \to \mu_{p^{\infty}}$ (con inyectividad de la de destino, como se señaló en la pregunta original). Si denotamos el núcleo de este morfismos por $K$, entonces, ciertamente,$1 + \mathfrak m \mathcal O_{{\mathbb C}_p} = \mu_{p^{\infty}} \times K.$, $K$ contiene el abierto de los subgrupos $1 + p \mathcal O_{{\mathbb C}_p},$, por lo que es en sí mismo un abierto (y por lo tanto cerrado) subgrupo.

Por lo tanto la división de preguntar acerca de sí existe. Nota a pesar de que no es natural, y, por ejemplo, no puede ser elegido en un $Aut(\mathbb C_p/\mathbb Q_p)$-equivariant manera.