Mostrar que si $a \mid bc$,$a \mid \gcd(a,b)\gcd(a,c)$.

Question

Es una pregunta de mi examen, pero no puedo averiguar cómo demostrarlo.

Mostrar que si $a \mid bc$,$a \mid \gcd(a,b)\gcd(a,c)$.

Me gustaría obtener ayuda. Gracias!

Answer 1

Utilizando el teorema de Bézout, no existe $u_1,v_1,u_2,v_2 \in \Bbb Z$ tal que $\gcd(a,b) = a u_1 + bv_1$$\gcd(a,c) = a u_2 + c v_2$. La expansión del producto, uno ha $\gcd(a,b)\gcd(a,c) \equiv bc v_1 v_2 \equiv 0 \pmod{a}$.

Answer 2

A menudo me encuentro que en este tipo de problemas, es útil pensar en un número como una lista de factores primos (incluyendo la multiplicidad). Por ejemplo, $12\equiv(2,2,3)$.

Con esto en mente, la relación $a|b$ se traduce simplemente $a\subseteq b$, $gcd(a,b)$ se traduce a $a\cap b$ $ab$ se traduce a $a\cup b$. Así que ahora sólo necesita mostrar este conjunto de primaria de la teoría de la ecuación:

$$a\subseteq (b\cup c)\quad\Rightarrow\quad a\subseteq(a\cap b)\cup(a\cap c)$$

(que en realidad es la trivial instrucción:)

$$(a\cap b)\cup(a\cap c) \subseteq (b\cup c)$$

Answer 3

(1) $a|bc$ $\implies$ $a|(ab)(ac)$.

(2)Vamos a $d_1=gcd(a,b)$, $d_1|a$ y $d_1|b$ $\implies$ $d_1|ab$ $\implies$ $ab=k_1d_1$.

(3)Igualmente, os $d_2=gcd(a,c)$,$ac=k_2d_2$.

(4)por Lo tanto, tenemos $(ab)(ac)=(k_1d_1)(k_2d_2)$.

(5)Substitude (1) a (4): hemos $a|(k_1d_1)(k_2d_2)$ $\implies$ $a|d_1d_2$ $\implies$ $a|gcd(a,b)gcd(a,c)$ .

No se si es correcto.