Dos caras de golpear tiempo de movimiento Browniano

Question

Estoy tratando de calcular el golpear de tiempo de un lineal de movimiento Browniano en los dos lados de la frontera. Más específicamente, deje $W_t$ a (unidimensional) proceso de Wiener. Deje $T = \inf \{t: |W_t| = a \}$ algunos $ a > 0$. Quiero encontrar a $\mathbb{P}\{ T > t\}$.

Sé que la distribución de probabilidad de golpear tiempo de un positivo nivel, $\inf \, \{t: W_t = b\,, \ b > 0 \}$ puede calcularse con bastante facilidad, pero no estoy seguro de cómo lidiar con ella cuando se trata de las dos caras de golpear tiempo, es decir, con el valor absoluto. Estoy pensando en el mínimo de golpear a veces de nivel $a$$-a$, pero no puedo conseguir un prometedor conclusión.

Answer 1

Voy a darle una oportunidad.

Por simplicidad vamos a $T_a=\inf \{t: |W_t| = a \}$

\begin{align} Pr(|W(t)|>a)&=P(|W(t)|>a|T_a<t)Pr(T_a<t)+P(|W(t)|>a|T_a>t)Pr(T_a>t)\\ \end{align}

$P(|W(t)|>a|T_a>t)=0$ desde el momento en que $|W(t)|$ aciertos $a$ durante el primer tiempo no ha llegado, por tanto, $|W(t)|$ no puede ser más grande que la de $a$.

También tenga en cuenta que $P(|W(t)|>a|T_a<t)=\frac12+Pr(W(t)<-2a)$ ya que sabemos que $|W(t)|$ ha golpeado $a$ $t$ (tenemos $T_a<t$). Por lo tanto, el caso de $\{|W(t)|>a|T_a<t\}$ es equivalente a $\{|a+W(t)|>a\}$.

Por lo tanto $$Pr(T_a<t)=\frac{2P(W(t)>a)}{\frac12+P(W(t)<-2a)}.$$