La respuesta depende del radio del círculo. El caso de los hexágonos es mucho más complicado que el caso de los círculos. Por lo que asumimos que, en lugar de los hexágonos que tienen círculos de radio $r$ centrado en
los puntos de la rejilla $mU+nV$ $n,m\in\Bbb{Z}$, $U=(1,0)$ y $V=\left(\frac 12,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$,
con $\frac 12\le r \le \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Si desea conocer la función de distribución de probabilidad que describe cómo muchos círculos pequeños sería la superposición de un colocados al azar círculo de radio $R$ y el centro de la $P$, usted tiene que dibujar círculos de radio $r+R$ alrededor de cada uno de los puntos cercanos en la red y el punto de $P$ en el avión está dentro de un cierto número de $N=N(P)$ de estos grandes círculos. El círculo de radio $R$ se superpondrían con $N$ pequeños círculos.
La probabilidad de que usted está buscando es la proporción de la zona del avión, donde todos los puntos
ha $N(P)=N$. Por simetría se pueden restringir los cálculos para el área dentro del triángulo $A$ formado por
$$
(0,0),\left(\frac 12,0\right)\quad\text{y}\quad \left(\frac 12,\frac{\sqrt{3}}{6}\right).
$$
A continuación, el círculo de radio $R$ va a cortar el triángulo en pedazos, y todos los puntos en cada pieza dentro de la misma serie de grandes círculos con un radio de $R+r$. Así que para todos los puntos en una sola pieza el valor de $N(P)$ es el mismo. La superficie de todas las piezas correspondientes a un fijo $N$, dividido por el área del triángulo, es la probabilidad de que un colocados al azar círculo se superponen $N$ pequeños círculos.
Para el cálculo se reduce a la zona de las piezas de un triángulo dividido por arcos circulares.
Por ejemplo, considere el caso donde $r+R=2$. Entonces el triángulo $A$ está dentro de los círculos con centro en el $mU+nV$ $(m,n)\in\{(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(-1,1),(0,1),(1,1),(-1,2),(0,2)\}$ y se superpone parcialmente los círculos con centro en el
$mU+nV$ $(m,n)\in\{(-2,1),(-1,-1),(1,-2),(2,-2)\}$ . Para cada puesto al azar círculo se superpone (parcial o completamente) en menos de 12 círculos pequeños y en la mayoría de los 16.
Ahora viene la torpe parte: Usted tiene que cortar el triángulo en trozos y calcular el área de cada pieza. Las ecuaciones de las cuatro críticas de los círculos son:
$$
\left(x +\frac32\right)^2 + \left(y - \frac{\sqrt{3}}2\right)^2 = 4,\quad \left(x + \frac32\right)^2 + \left(y + \frac{\sqrt{3}}2\right)^2 = 4,
$$
$$
x^2 + (y + \sqrt{3})^2 = 4,\quad (x -1)^2 + (y + \sqrt{3})^2 = 4.
$$
El triángulo se cortan en 7 piezas, dos piezas corresponden a $N=14$, dos piezas corresponden a $N=15$, y de una sola pieza y cada uno corresponde a 12, 13 y 16, respectivamente.
Ahora usted tiene que hacer básicos de la geometría en el plano o el uso del cálculo.
Por ejemplo, la superficie de la pieza correspondiente a $N=16$ es
$$
R=\int_0^{a_0}\left(-\sqrt{3}+\sqrt{4-(x-1)^2}\right)dx+\int_{a_0}^{b_0}\left(-\sqrt{3}/2+\sqrt{4-(x+3/2)^2}\right)dx\sim 0.01882,
$$
donde$a_0=\frac{1}{28}(-7+3\sqrt{21})$$b_0=(\sqrt{13}-3)/2$.
Desde el área de $A$$\frac{\sqrt{3}}{24}\sim 0.0721688$, obtenemos
que la probabilidad de superposición(parcial o completamente) 16 círculos es
$$
P(16)=\frac{Área de\ de\ la\ pieza\ correspondientes\ a\ 16}{Área de\ de\ A}\sim 0.26077822.
$$
