Puede $\int_0^{\infty} e^{-a^2 t^2 - b t} \sin c t \mathrm dt$ ¿se puede hacer?

Question

Soy físico y me he encontrado con integrales como $\int_0^{\infty} e^{-a^2 t^2 - b t} \sin c t \;\mathrm dt$ donde todo es real.

Mathematica no pudo resolverlo y no pude encontrarlo en ninguna referencia. ¿Alguna idea de si esto se puede resolver? ¿Cómo?

Answer 1

EDITAR : Originalmente hice la integral sobre $(-\infty,\infty)$ y obtuvo una solución elemental, en lugar de sobre el intervalo $[0,\infty)$ donde obtenemos funciones especiales. Esto se ha modificado.

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Definir $I(a,b) = \int_0^{+\infty} \exp(-a t^2-bt)dt$ para $a\in \mathbb{R}_+$ y $b\in\mathbb{C}$ . Si completamos el cuadrado, obtenemos

$$I(a,b) = \int_0^{+\infty} \exp\left[ -a\left(t+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a} \right]dt$$

$$=\exp\left(\frac{b^2}{4a}\right) \int_0^{+\infty} \exp\left[ -a\left(t+\frac{b}{2a}\right)^2\right]dt$$

$$=\exp\left(\frac{b^2}{4a}\right)\int_{b/2a}^\infty e^{-au^2}du$$

$$=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left(\frac{b^2}{4a}\right) \mathrm{erfc}\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right).$$

En lo anterior, $\mathrm{erfc}(\cdot)$ denota el complemento función de error (que se define para los números complejos). Ahora observa que el seno de la integral original se puede dividir en exponenciales complejas, dando

$$(*)=\frac{I(a^2,b-ci)-I(a^2,b+ci)}{2i}.$$

Answer 2

Esta es la parte imaginaria de $J(a,z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\exp(-a^2t^2+zt)\mathrm{d}t$ para $z=-b+\mathrm{i}c$ por lo tanto, calculemos $J(a,z)$ para cada número real no nulo $a$ y todo número complejo $z$ .

Ampliar $\mathrm{e}^{zt}$ como una serie en $t$ se obtiene $$ J(a,z)=\sum_{n\ge0}\frac{z^n}{n!}\int_0^{+\infty}\exp(-a^2t^2)t^n\mathrm{d}t. $$ El cambio de variable $u=a^2t^2$ muestra que cada integral en el lado derecho es un múltiplo de la función $\Gamma$ evaluado en $\frac12(n+1)$ Más precisamente, $$ J(a,z)=\frac1{2a}\sum_{n\ge0}j_n\left(\frac{z}a\right)^n,\qquad j_n=\frac1{n!}\Gamma\left(\frac{n+1}2\right). $$ Para cada número entero no negativo $k$ , $$ j_{2k}=\frac{\sqrt\pi}{2^{2k}}\frac1{k!},\quad j_{2k+1}=\frac{k!}{(2k+1)!}. $$ Finalmente, la integral de interés es $$ \frac1{4\mathrm{i}}\sum_{n\ge0}(-1)^n\frac{j_n}{a^{n+1}}((b-\mathrm{i}c)^n-(b+\mathrm{i}c)^n). $$