¿Qué es el álgebra exterior?

Question

Estoy aprendiendo geometría diferencial, y me cuesta entender la construcción del álgebra exterior de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ .

Tenemos el producto de la cuña $$\wedge:\Lambda^k(V^\ast)\times\Lambda^l(V^\ast)\to\Lambda^{k+l}(V^\ast)$$ definido como $$\omega\wedge\eta=\frac{(k+l)!}{k!l!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)$$ y eso está bien. Entonces uno acaba de definir el álgebra exterior para ser la suma directa $$\Lambda(V^\ast)=\bigoplus_{k=0}^n\Lambda^k(V^\ast),$$ y se supone que es un álgebra. Pero $\wedge$ se define sólo en $\Lambda^k(V^\ast)\times\Lambda^l(V^\ast)$ ¿Cómo actúa entonces sobre un elemento general? ¿En los componentes?

Pregunta: Si $(\omega_0,\ldots,\omega_n)\in\Lambda(V^*)$ y $(\eta_0,\ldots,\eta_n)\in\Lambda(V^*)$ ¿Qué es? $$(\omega_0,\ldots,\omega_n)\wedge(\eta_0,\ldots,\eta_n)?$$

Answer 1

Cada uno de $\omega_i$ y $\eta_j$ son elementos de un determinado $\Lambda^k$ . Tal vez sea más esclarecedor escribir $$\omega_0+\omega_1+\cdots +\omega_n.$$ Haga lo mismo para el $\eta_j$ . Entonces, se multiplica utilizando la propiedad distributiva y el hecho de que se conoce el producto cuña para cada par de $\omega_i$ con $\eta_j$ .

Answer 2

• La ecuación $$\Lambda=\bigoplus_{m=0}^n\Lambda^m$$ significa que $\Lambda^m\subset\Lambda$ y la función $$\begin{align} \Lambda^0\times\cdots\times \Lambda^n&\to\Lambda\\ (\omega_0,\ldots,\omega_n)&\mapsto \omega_0+\ldots+\omega_n \end{align}$$ es biyectiva, no necesariamente que $\Lambda=\Lambda^0\times\cdots\times \Lambda^n$ .
• Si $\omega=\omega_0+\ldots+\omega_n\in\Lambda$ y $\eta=\eta_0+\ldots+\eta_n\in\Lambda$ entonces $$\omega\wedge\eta=\sum_{i=0}^n\omega_i\wedge\sum_{j=0}^n\eta_j=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\omega_i\wedge\eta_j$$ ya que el producto cuña es bilineal. Además, se puede utilizar el hecho de que $\omega_i\wedge\eta_j=0$ si $n<i+j$ : $$\omega\wedge\eta=\sum_{i+j\leq n}\omega_i\wedge\eta_j$$