$Y$ siempre gana. La estrategia para $Y$ es de: juego de todos, incluso de los coeficientes como hay; los números elegidos no importa hasta la última jugada. En $Y$'s movimiento final, desempeñen un coeficiente de si hay uno, de lo contrario jugar el coeficiente con el menor exponente; basta jugar un suficientemente grande número negativo.
Esta prueba está inspirado por Ross Millikan post. Vamos a jugar como $Y$. Que sólo juegan incluso coeficientes mientras hay a la izquierda de jugar. Desde el juego comienza con $n-1$ incluso de los coeficientes y de $n$ impar coeficientes, se sigue que, en $Y$'s movimiento final, no va a haber más de uno, incluso coeficiente de izquierda. Si hay incluso un coeficiente, a continuación, $Y$ va a elegir para jugar, y ganamos por la elección de una lo suficientemente grande número negativo, por el razonamiento de Ross, el último párrafo. De lo contrario, quedan dos impares coeficientes correspondientes a $x^{d_1}$ $x^{d_2}$ por alguna extraña $d_1<d_2$. El polinomio es ahora de la forma
$$p(x)+ax^{d_1}+bx^{d_2}$$
para algunos polinomio $p(x)$. Elige un pequeño $\epsilon>0$ ($\epsilon=1/2$ será suficiente). Deje $$\delta=\min(\frac12, \dfrac12 \dfrac{1-2\epsilon^{d_2-d_1}}{2\epsilon^{d_2}}),$$
y elija $N>0$ tal que $|p(x)/N|\leq \delta$ todos los $x\in[-1,1]$. Reproductor $Y$ ahora elija para jugar a $a=-N/\epsilon^{d_1}$. A continuación, $p(x)+ax^{d_1}<(-1+\delta)N<0$ $x=\epsilon$ e lo $p(x)+ax^{d_1}$ tiene una raíz real. Para compensar, $X$ deben jugar como su movimiento final algunos $b\geq (1-\delta)N/\epsilon^{d_2} \geq N/(2\epsilon^{d_2})$ con el fin de hacer $p(x)+ax^{d_1}+bx^{d_2}$$x=\epsilon$. Pero ahora, en $x=-1$ tenemos
$$p(1)-a-b<(\delta+\dfrac1{\epsilon^{d_1}}-\dfrac1{2\epsilon^{d_2}}) N = (\delta-\dfrac{1-2\epsilon^{d_2-d_1}}{2\epsilon^{d_2}})N<-\delta N<0$$
y por lo tanto $p(x)+ax^{d_1}+bx^{d_2}$ tiene una raíz real. Reproductor $Y$ gana!
