Círculo de la inversión y el Vilano de la cadena de paradoja

Question

Como es bien sabido, las líneas y los círculos se convierten en líneas y círculos por el círculo de la inversión, o por cualquier transformación de Möbius para esa materia. Lo que me molesta es lo que sucede en el Vilano de música clásica de la construcción de una cadena de círculos inscritos en una región entre dos círculos tangentes (llamado Arquímedes del arbelos).

Se puede aplicar una estratégica círculo de la inversión que convierte a esta región en una franja comprendida entre dos líneas paralelas (ver la primera imagen de Mathhelp del Vilano de la Cadena y, a continuación). Naturalmente, los círculos inscritos son invertidos en una pila vertical de los círculos inscritos en la tira, y sus centros de mentira en su línea media. El problema es que los centros de la original Vilano de la cadena de círculos de mentir en una elipse (esto es fácil de demostrar el uso de su centro de la propiedad, véase, por ejemplo, Wikipedia, Vilano de la Cadena). Dado que la inversión es involutiva parece que se invierte una línea en una elipse?!

Soy probablemente falta algo muy simple, pero no estoy seguro de qué. Es que el círculo de los centros no se han invertido en el círculo de los centros? ¿De dónde viene esta elipse?

Answer 1

Su conjetura es correcta. Círculo centros no son asignados en el círculo de los centros.

Por simplicidad, considere la posibilidad de inversión en el círculo unidad. Deje $c$ ser la distancia radial del centro de un círculo de radio $r$ a ser invertida. El rayo a través de este punto se cruza el círculo de la radial distancias de $c\pm r$. Estos dos puntos son invertidos para $(c\pm r)^{-1}$. Su punto medio es el centro del círculo de la imagen es en ${c\over c^2-r^2}$, pero la imagen del centro del círculo está en $\frac1 c$.

Para el Vilano de la cadena, la elipse en la que los centros mentira tiene los centros de los círculos exterior e interior que generan la cadena como de sus focos. La inversión círculo es ortogonal al primer círculo de la cadena (el círculo que se completa la arbelos). Tomando, por ejemplo, un diámetro exterior de $7$ y el diámetro interior de $4$, la central de la elipse de semi-eje longitudes $\frac{11}4$$\sqrt7$. La inversión círculo tiene un radio de $2\sqrt7$, por lo que la inversión de la fórmula es $\mathbf r'=28{\mathbf r \over \|\mathbf r\|^2}$. Con la simplificación de ayuda de Mathematica, la inversión de la central de la elipse es $$x = {1232 \over 233+ 9\cos t}, y={448 \sqrt{7} \tan \frac t2 \over 233+ 9\cos t},$$ la curva de color rojo en la siguiente ilustración.

Esta curva asintóticamente enfoques de la línea central vertical de la invertida círculo de pila, así como de llegar más lejos a lo largo de la cadena, el invertida círculo centros de hacer casi de mentira en una línea recta, pero ninguno de ellos en realidad se encuentran en él. Con Mathematica ayuda una vez más, el parámetro de $t$ pueden ser eliminados para obtener la ecuación implícita $$2\arctan{11y \over 4\sqrt7 x} = \arccos{1232-233x\over9x},$$, pero no me parece que es particularmente iluminador.