Las distancias entre una distribución aleatoria de puntos en una bola

Question

Decir que tengo una 3-bola con el radio de $R$. Si puedo elegir aleatoriamente a 2 puntos del interior de la bola, la probabilidad de que la distancia euclidiana entre los puntos (marcados como 1 y 2) toma un valor determinado $r = r_{12} = r_{21}$ está dada por la función de densidad de probabilidad (PDF)

\begin{equation} P_3 (r) = \frac{3 r^{2}}{R^3} - \frac{9 r^{3}}{4 R^4} + \frac{3 r^{5}}{16 R^6} \end{equation}

como se describe en https://arxiv.org/pdf/math-ph/0201046.pdfla ecuación 15.

Si yo fuera a recoger $N$ puntos desde el interior de este balón simultáneamente, no sería $N(N-1)/2$ distancias entre pares de puntos diferentes. Es posible expresar el PDF $P(r_1, r_2, \dots{}, r_{N(N-1)/2}$), donde $r_1, r_2, \dots{}, r_{N(N-1)/2}$ son las distancias entre pares de puntos diferentes, el uso de los pares de PDF $P_3(r)$ ? ¿Existe alguna otra forma cerrada de solución para dicha distribución, o una solución para algunos de forma distinta de la bola ?

En este caso, es obvio que no $P_3(r) \times P_3(r) \times \dots{} \times P_3(r)$, debido a que, por ejemplo, cuando los 2 puntos que se encuentran a una distancia de $2R$, un tercer punto que no puede estar a una distancia $2R$ a partir de dos de ellos, pero tales PDF permitiría.

Answer 1

Hay $3N$ grados de libertad para las ubicaciones de las $N$ puntos. Una vez $N\geq 8$,$3N < N(N-1)/2$, por lo que la mayoría de las $N(N-1)/2$-tuplas de distancias no se dio cuenta (esto es cierto incluso si el $N$ puntos ya no se ven limitados a una pelota). El conjunto de posibles $N(N-1)/2$-tuplas de distancias positivas codimension en $\mathbb{R}^{N(N-1)/2}$, por lo tanto, tiene medida de Lebesgue $0$. Así, la medida de probabilidad sobre el conjunto de distancias es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, por lo que no puede existir una función de densidad de probabilidad.