Dado $p \equiv q \equiv 1 \pmod 4$, $\left(\frac{p}{q}\right) = 1$, es $N(\eta) = 1$ posible?

Question

Dado distintos números primos $p$$q$, ambos congruentes a $1 \pmod 4$, de tal manera que $$\left(\frac{p}{q}\right) = 1$$ and obviously also $$\left(\frac{q}{p}\right) = 1$$ is it possible for the fundamental unit of $\mathcal{S}_{\mathbb{Q}(\sqrt{pq})}$ to have a norm of $1$?

Hay Teorema de once punto cinco punto siete en saban alaca williams algo extraño con mi teclado en este párrafo< lo siento>

Answer 1

Mi Teorema 1 es el Teorema de 11.5.5 en la página 279 de Alaca y Williams. Mi Teorema 2 es el Teorema de 11.5.7 en la página 286 de Alaca y Williams. Resulta Teorema 2 es debido a Dirichlet, 1834.

Me sigue olvidando por qué $x^2 + xy - k y^2$ domina $u^2 - (4k+1)v^2.$ Un paso: tome $x = u-v, y = 2v.$ $$ x^2 + xy - k y^2 = u^2 - 2 uv + v^2 + 2 u v - 2 v^2 - 4 k v^2 = u^2 - (4k+1) v^2. $$

TEOREMA 1: Con el primer $p \equiv 1 \pmod 4,$ siempre hay una solución a $$ x^2 - p y^2 = -1 $$ en números enteros. La prueba es de Mordell, Diophantine Ecuaciones, páginas 55-56.

PRUEBA: Tomar el entero más pequeño par $T>1,U >0$ tal que $$ T^2 - p U^2 = 1. $$ Sabemos que $T$ es impar y $U$ es incluso. Por lo tanto, tenemos la ecuación entero $$ \left( \frac{T+1}{2} \right) \left( \frac{T-1}{2} \right) = p \left( \frac{U}{2} \right)^2. $$

Tenemos $$ \gcd \left( \left( \frac{T+1}{2} \right), \left( \frac{T-1}{2} \right) \right) = 1. $$ De hecho, $$ \left( \frac{T+1}{2} \right) - \left( \frac{T-1}{2} \right) = 1. $$

Ahora hay dos casos, por única factorización en números enteros:

$$ \mbox{(A):} \; \; \; \left( \frac{T+1}{2} \right) = p a^2, \; \; \left( \frac{T-1}{2} \right) = b^2 $$

$$ \mbox{(B):} \; \; \; \left( \frac{T+1}{2} \right) = a^2, \; \; \left( \frac{T-1}{2} \right) = p b^2 $$

Ahora, en el caso (B), nos encontramos con que $(a,b)$ son menores de $(T,U),$ pero $T \geq 3, a > 1,$ $a^2 - p b^2 = 1.$ Esto es una contradicción, ya que nuestra hipótesis es que el $(T,U)$ es mínima.

Como resultado, caso (A) se mantiene, con evidentes $$p a^2 - b^2 = \left( \frac{T+1}{2} \right) - \left( \frac{T-1}{2} \right) = 1, $$ así $$ b^2 - p a^2 = -1. $$

TEOREMA 2: Con los números primos $p \neq q,$ $p \equiv q \equiv 1 \pmod 4$ y Legendre $(p|q)=(q|p) = -1,$ siempre hay una solución a $$ x^2 - pq y^2 = -1 $$ en números enteros. La prueba es de Mordell, Diophantine Ecuaciones, páginas 55-56.

PRUEBA: Tomar el entero más pequeño par $T>1,U >0$ tal que $$ T^2 - pq U^2 = 1. $$ Sabemos que $T$ es impar y $U$ es incluso. Por lo tanto, tenemos la ecuación entero $$ \left( \frac{T+1}{2} \right) \left( \frac{T-1}{2} \right) = pq \left( \frac{U}{2} \right)^2. $$

Tenemos $$ \gcd \left( \left( \frac{T+1}{2} \right), \left( \frac{T-1}{2} \right) \right) = 1. $$

Ahora hay cuatro casos, por única factorización en números enteros:

$$ \mbox{(1):} \; \; \; \left( \frac{T+1}{2} \right) = a^2, \; \; \left( \frac{T-1}{2} \right) = pq b^2 $$

$$ \mbox{(2):} \; \; \; \left( \frac{T+1}{2} \right) = p a^2, \; \; \left( \frac{T-1}{2} \right) = q b^2 $$ $$ \mbox{(3):} \; \; \; \left( \frac{T+1}{2} \right) = q a^2, \; \; \left( \frac{T-1}{2} \right) = p b^2 $$ $$ \mbox{(4):} \; \; \; \left( \frac{T+1}{2} \right) = pq a^2, \; \; \left( \frac{T-1}{2} \right) = b^2 $$

Ahora, en el caso (1), nos encontramos con que $(a,b)$ son menores de $(T,U),$ pero $T \geq 3, a > 1,$ $a^2 - pq b^2 = 1.$ Esto es una contradicción, ya que nuestra hipótesis es que el $(T,U)$ es mínima.

En el caso de $(2),$ hemos $$ p a^2 - q b^2 = 1. $$ $$ p a^2 \equiv 1 \pmod q, $$ so $un$ is nonzero mod $q$, a continuación, $$ p \equiv \left( \frac{1}{a} \right)^2 \pmod q. $$ Esto contradice la hipótesis de $(p|q) = -1.$

En el caso de $(3),$ hemos $$ q a^2 - p b^2 = 1. $$ $$ q a^2 \equiv 1 \pmod p, $$ so $un$ is nonzero mod $p$ entonces $$ q \equiv \left( \frac{1}{a} \right)^2 \pmod p. $$ Esto contradice la hipótesis de $(q|p) = -1.$

Como resultado, el caso de (4) se mantiene, con evidentes $$pq a^2 - b^2 = \left( \frac{T+1}{2} \right) - \left( \frac{T-1}{2} \right) = 1, $$ así $$ b^2 - pq a^2 = -1. $$

El punto de vista de la real cuadrática de los campos de una de las normas de las unidades fundamentales se preocupa más de $x^2 + xy - k y^2,$ donde $4k+1 = pq$ en el segundo teorema. Sin embargo, hemos demostrado anteriormente que la existencia de una solución a $u^2 - (4k+1)v^2 = -1$ da una construcción inmediata de una solución a $x^2 + xy - k y^2=-1,$ es decir $x=u-v, y=2v.$

EXTRA

David Speyer me recordó algo Kaplansky escribió para mí, años y años atrás. Los de David comentarios, ahora entiendo lo de Cap, estaba tratando de mostrarme. Si $x^2 + x y - 2 k y^2 = -1,$ $(2x+y)^2 - (8k+1)y^2 = -4. $ Esto es imposible $\pmod 8$ si $y$ es incluso, en cuyo caso $(x + \frac{y}{2})^2 - (8k+1) \left( \frac{y}{2}\right)^2 = -1.$

Es más, cuando tenemos $x^2 + x y - k y^2 = -1$ con extraña $k.$ $$ u = \frac{ 2 x^3 +3 x^2 y + (6k+3)x y^2 + (3k+1)y^3}{2}, $$ $$ v = \frac{3 x^2 y + 3 x y^2 + (k+1)y^3}{2}. $$ $$ u^2 - (4k+1) v^2 = -1, $$ desde $$ u^2 - (4k+1) v^2 = \left( x^2 + x y - k y^2 \right)^3. $$

Answer 2

Agregado: para números pequeños, parece que aproximadamente uno de cada tres números de $n=pq,$ doce de la menor a cuarenta y cuatro, con los números primos $p \equiv q \equiv 1 \pmod 4$ $(p|q)= (q|p) = 1,$ da entero soluciones a $x^2 - n y^2 = -1.$ Los primeros son $$ 145 = 5 \cdot 29, \; \; x=12, y=1 $$ $$ 445 = 5 \cdot 89, \; \; x=4662, y=221 $$ $$ 901 = 17 \cdot 53, \; \; x=30, y=1 $$ $$ 1145 = 5 \cdot 229, \; \; x=1252, y=37 $$ $$ 1313 = 13 \cdot 101, \; \; x=616, y=17 $$ $$ 1745 = 5 \cdot 349, \; \; x=4052, y=97 $$ $$ 2249 = 13 \cdot 173, \; \; x=197140, y=4157 $$ Parece que se mantienen estables en aproximadamente uno de cada tres, no se $5820$ éxitos de la primera $18000$ a dichos números. Allí se $99284$ fuera de la primera $300000.$

Sin EMBARGO:

$205 = 5 \cdot 41,$ y no se entero de soluciones a $$ x^2 - 205 y^2 = -1. $$ Más al punto, no hay ningún número entero de soluciones a $$ x^2 + x y - 51 y^2 = -1. $$ Con referencia a la segunda captura de pantalla a continuación, con $x=20$ $y=3,$ $$ 20^2 + 20 \cdot 3 - 51 \cdot 3^2 = 1. $$

O a $$ x^2 + 13 x y - 9 y^2 = -1. $$

$221 = 13 \cdot 17,$ y no se entero de soluciones a $$ x^2 - 221 y^2 = -1. $$ Además, no existe ningún número entero de soluciones a $$ x^2 + x y - 55 y^2 = -1. $$ Con referencia a la tercera captura de pantalla a continuación, con $x=7$ $y=1,$ $$ 7^2 + 7 \cdot 1 - 55 \cdot 1^2 = 1. $$

O a $$ x^2 + 13 x y - 13 y^2 = -1. $$

Capturas de pantalla de http://www.numbertheory.org/php/unit.html

Ummm. aquí está el 205 cosa en mi idioma:

=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle 1 1 -51  

  0  form              1           1         -51  delta      0
  1  form            -51          -1           1  delta      6
  2  form              1          13          -9


          -1          -6
           0          -1

To Return  
          -1           6
           0          -1

0  form   1 13 -9   delta  -1     ambiguous  
1  form   -9 5 5   delta  1
2  form   5 5 -9   delta  -1     ambiguous  
3  form   -9 13 1   delta  13
4  form   1 13 -9


  form   1 x^2  + 13 x y  -9 y^2 

minimum was   1rep   x = 1   y = 0 disc   205 dSqrt 14.317821063  M_Ratio  205
Automorph, written on right of Gram matrix:  
2  27
3  41
=========================================

Y aquí es de 221

=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 
    jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle 1 1 -55   

  0  form              1           1         -55  delta      0
  1  form            -55          -1           1  delta      6
  2  form              1          13         -13


          -1          -6
           0          -1

To Return  
          -1           6
           0          -1

0  form   1 13 -13   delta  -1     ambiguous  
1  form   -13 13 1   delta  13     ambiguous  
2  form   1 13 -13


  form   1 x^2  + 13 x y  -13 y^2 

minimum was   1rep   x = 1   y = 0 disc   221 dSqrt 14.866068747  M_Ratio  221
Automorph, written on right of Gram matrix:  
-1  -13
-1  -14
=========================================