¿Por qué no $ SA_{\text{cube}} = 3x^2 $?

Question

Relacionadas con el "volumen de la esfera", ¿por qué es el área de superficie de un cubo no es igual a la derivada de su volumen?

Si usted piensa acerca de una esfera, tiene sentido que la tasa de cambio del volumen (con respecto a $r$) de los rendimientos de la superficie de la zona ($SA$) = $\frac{\text{d}}{\text{d}r} \frac{4\pi r^3}{3} = 4\pi r^2 $, porque somos "skinning" en "capas" de la esfera. El área de la superficie de una esfera es la tasa de cambio del volumen de la esfera en el radio " R " porque un ser infinitamente delgada piel de la esfera colocado en la parte superior de la esfera es exactamente el área de la superficie.

Así, por un cubo, que pensaba lo mismo. Pero $V_{\text{cube}} = x^3$$SA_{\text{cube}} = 6x^2$, donde se espera $SA_{\text{cube}}=3x^2$ si el área de superficie eran sólo la derivada de volumen.

Creo que tiene que ver con el cubo del lado de longitud creciente en los dos lados (por lo tanto,$2 \text{d}x$?) pero yo no puedo poner mi dedo en él.

Answer 1

Si usted exprese la longitud del cubo en términos de su longitud media $y=x/2$, entonces el volumen es $V=8y^3$ y el área de la superficie es $S = 24y^2$, por lo que ha $S=\mathrm{d}V/\mathrm{d}y$ al igual que para la esfera.

Answer 2

Si usted compara un cubo de lado de longitud $x$ a un cubo de lado de longitud $x + \epsilon$, la diferencia es de un montón de sectores correspondientes a las caras, pero tienen la anchura $\frac{\epsilon}{2}$, no $\epsilon$. Como Chris Taylor dice, para obtener la espera de la normalización de trabajar en términos de la mitad de la longitud lateral. Entonces usted consigue

$$(2y + 2 \epsilon)^3 = 8(y^3 + \epsilon (3y^2) + \epsilon^2 (3y) + \epsilon^3)$$

donde los coeficientes de Taylor son, en orden: el volumen de $8y^3$, el área de superficie de la $24y^2$ veces $\epsilon$, la longitud total $24y$ de los bordes veces $\epsilon^2$, y el número de $8$ de vértices veces $\epsilon^3$.