Tengo la siguiente pregunta: Considerar el dominio $$ D=B(0,1)\cup B\left(\frac{1}{2}, 1\right) $$ Es dado que $f:D\rightarrow \mathbb{C}$ es una analítica de la función en $D$, e $f^{(n)}(0)$ es un número real positivo para cada entero positivo $n$. Deje $R$ ser el radio de convergencia de la serie de Taylor de $f$$z=0$. Es cierto que $R>1$? $$ $$ He adjuntado mi prueba para el siguiente problema, aunque no estoy seguro de si es correcto, como yo claramente no han utilizado el hecho de que $f^{(n)}(0)$ es un número real positivo para cada entero positivo $n$. ¿Cómo puedo hacer uso de este hecho para demostrar/refutar la afirmación? $$ $$ Prueba: Desde $f$ es analítica en la bola de $B(0,1)$, se sigue de la definición de radio de convergencia que $R\geq1$. Supongamos por el contrario que $R=1$. Por Taylor Teorema, podemos expresar $f$ como una serie de Taylor en $z=0$ como sigue: $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$$ donde la serie converge absolutamente para todos los $z\in B(0,1)$, y diverge para todos los $|z|>1$. Por lo tanto, mediante la diferenciación de ambos lados de la ecuación anterior $k$ a veces, tenemos que para todos los $z\in B(0,1)$, $$ f^{(k)}(z)=\sum_{n=k}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k)!}z^{n-k}. $$ También, desde la $f$ es analítica en la bola de $B\left(\frac{1}{2},1\right)$, se deduce a partir del Teorema de Taylor que también podemos expresar $f$ como una serie de Taylor en $z=\frac{1}{2}$ como sigue: $$ f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}\left(\frac{1}{2}\right)}{k!}\a la izquierda(z-\frac{1}{2}\right)^k, $$ donde la serie converge absolutamente para todos los $z\in B\left(\frac{1}{2},1\right)$. Ahora, mediante el establecimiento $z=\frac{1}{2}$, tenemos que para todos los $k\geq0$, $$ f^{(k)}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=k}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k)!}\cdot\frac{1}{2^{n-k}}. $$ A continuación, para todos los $z\in B\left(\frac{1}{2},1\right)$, tenemos los siguientes: $$ f(z) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}\left(\frac{1}{2}\right)}{k!}\a la izquierda(z-\frac{1}{2}\right)^k =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k)!k!}\cdot\frac{1}{2^{n-k}}\cdot\left(z-\frac{1}{2}\right)^k $$ $$ =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k)!k!}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(z-\frac{1}{2}\right)^k =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(z-\frac{1}{2}\right)^k $$ $$ =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n. $$ Nota: El intercambio de las sumatorias es posible que el de la serie $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}\left(\frac{1}{2}\right)}{k!}\left(z-\frac{1}{2}\right)^k$ converge absolutamente para todos los $z\in B\left(\frac{1}{2},1\right)$; esto se deduce del Teorema de Reordenamiento, donde cualquier reordenamiento de absolutamente convergente la serie converge a la misma suma que la serie original. Esto implica que la serie de Taylor de $f$ $z=0$ converge para todos los $z\in B\left(\frac{1}{2},1\right)$; y en particular para todos $z\in\mathbb{R}$, $1<z<\frac{3}{2}$, lo que se contradice con el hecho de que la serie diverge para todos los $|z|>1$. Así que debemos tener $R>1$ como se desee.
Respuestas
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El enunciado es correcto y la prueba es esencialmente correcto, aunque el hecho de que todos los coeficientes son positivos, es fundamental. Usted realmente lo utilizan sin darse cuenta: cuando usted habló acerca de intercambiar el orden de las sumatorias, que eran un poco descuidado porque necesitamos de los términos en la doble serie de summable en valor absoluto para el uso de "secuencial de Fubini". Afortunadamente, el originalmente interno consiste en la suma de los términos de la misma señal, lo que permite decir que el valor absoluto de la suma es igual a la suma de los valores absolutos y reducir la propiedad que realmente necesitamos para el que se ha declarado como suficiente.
La primera frase en su prueba está mal, aunque su conclusión es correcta. Si bien es cierto que el radio de convergencia se extiende hasta el punto más cercano donde la función no es holomorphic, este es un teorema y no sigue directamente de la definición de la radio de convergencia.
Un contraejemplo a la instrucción está dada por la función de $1/(1+x)$, por lo que debe haber algo mal en alguna parte en la prueba.
No he leído a través de su prueba, sino $\sum z^n/n^2$ es analítica, ha positivos de los coeficientes reales, y el radio de convergencia 1.
EDIT: lo Siento, yo estaba trabajando bajo la falsa impresión de que la dilogarithm es toda una función. Se me olvidó que hay una rama de corte a lo largo del eje real desde el 1 hasta el infinito, que la invalidan como un contraejemplo aquí.
