Si $d$ es una variable aleatoria arbitraria con parámetro(s) $\Psi$ y apoyo positivo, $g \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta)$ , $x \sim \mathrm{Poisson}(gd)$ y $g$ y $d$ son independientes, entonces
\begin{align*} \mathbb{P}(x\text{ }|\text{ }d; \alpha, \beta, \Psi) &\propto \mathbb{P}(x, d; \alpha, \beta, \Psi)\\ &= \int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{d}g\text{ }\mathbb{P}(x, d, g; \alpha, \beta, \Psi)\\ &= \mathbb{P}(d; \Psi) \int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{d}g\text{ }\mathbb{P}(x \text{ }|\text{ } g, d)\mathbb{P}(g; \alpha, \beta)\\ &\propto \int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{d}g\text{ }\mathbb{P}(x \text{ }|\text{ } g, d)\mathbb{P}(g; \alpha, \beta)\\ &= \int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{d}g\text{ } \frac{(gd)^{x}}{x!}\exp\left[-gd\right] \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}g^{\alpha-1}\exp\left[-\beta g\right]\\ &= \frac{d^x \beta^\alpha}{x!\Gamma(\alpha)} \int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{d}g\text{ } g^{x+\alpha-1}\exp\left[-g(d+\beta)\right]\\ &= \frac{d^x \beta^\alpha}{x!\Gamma(\alpha)} \frac{\Gamma(x+\alpha)}{(d+\beta)^{x+\alpha}}\\ &= \frac{\Gamma(x+\alpha)}{\Gamma(x+1)\Gamma(\alpha)} \frac{d^x \beta^\alpha}{(d+\beta)^{x+\alpha}}\\ \end{align*}
Como cabría esperar del hecho de que la distribución de la mezcla gamma-poisson es la distribución binomial negativa, la PMF no normalizada anterior se parece inquietantemente a la PMF binomial negativa. De hecho, si $d$ tiene soporte en $(0,1)$ ---por ejemplo, si $d$ está distribuido beta---y $g$ depende de $d$ estableciendo $\beta \equiv 1-d$ lo anterior sólo es $\mathrm{NegativeBinomial(x; \alpha, d)}$ .
Así que mi pregunta es, ¿qué tipo de variable aleatoria es $x \text{ }|\text{ }d, \alpha, \beta$ tanto en el caso positivo arbitrario como en el caso en que $d$ tiene soporte en $(0,1)$ ?
