Región de Stolz - atascado con la prueba

Question

Dados dos puntos $z_1,z_2$ tal que $ \lvert z_i\rvert<1$ , demuestre que para cada punto $z\ne 1$ en el triángulo cerrado con vértices $z_1,z_2,1$ siguientes retenciones: $$ \frac{\lvert 1-z\rvert}{1-\lvert z\rvert}\le K,$$ donde $K$ es una constante que depende únicamente de $z_1, z_2.$ Determine el valor más pequeño de $K$ para $z_1= \frac{1+i}{2}, z_2=\frac{1-i}{2}$ .

Lo que he intentado, es escribir $z=re^{i\theta}$ entonces $r<1$ Voy a probar el resultado pero para $\left(\dfrac{\lvert 1-z\rvert}{1-\lvert z\rvert}\right)^2$ $= \dfrac{1-2r\cos\theta+r^2}{1-2r+r^2}$ y $\theta$ está limitada por los ángulos de $z_i$ pero no puedo ver, lo que puedo hacer ahora.

Answer 1

Sugerencia: Es mejor escribir $z = 1 - r e^{i\theta}$ . Entonces $|1 - z| = r$ , mientras que $|z|$ se puede obtener utilizando la Ley de los Cosenos.

EDITAR. Bueno, ahora podría resumir todo el asunto. Utilizar coordenadas polares centradas en $1$ en lugar de $0$ Así que $z = 1 - r e^{i\theta}$ . Los dos puntos $z_1$ y $z_2$ y por lo tanto también el triángulo, están contenidos dentro de algún sector $-\pi/2 < -\theta_1 \le \theta \le \theta_1 < \pi/2$ y también dentro de algún círculo más pequeño $r = 2 p \cos \theta$ de radio $p < 1$ con centro en el eje real y que pasa por $1$ como en la imagen de abajo:

Para todos $z\ne 1$ en la región sombreada, y en particular para los puntos del triángulo, $$ \frac{|1-z|}{1-|z|} = \frac{r}{1-\sqrt{1 + r^2 - 2 r \cos \theta}} = \frac{1}{2 \cos \theta - r} \left(1 + \sqrt{1+r^2 - 2 r \cos \theta}\right) $$

Ahora $2 \cos \theta - r = (2 - 2p) \cos \theta + 2 p \cos \theta - r \ge (2 - 2 p) \cos \theta_1 > 0$ , mientras que $1 + \sqrt{1 + r^2 - 2 r \cos \theta} = 1 + |z| \le 2$ , por lo que obtenemos $$ \frac{|1-z|}{1-|z|} \le \frac{1}{(1-p) \cos \theta_1}$$