3d de la superficie de los criterios de

Question

Supongamos que tengo una afín a la ecuación de $f(x, y) = 0$ que después de la homogeneización, en$f(X, Y, Z) = 0$$\mathbb{P}^{3}$. Hay maneras de comprobar que $f$ representa un 3d de la superficie?

Answer 1

Seguramente hay. Vamos a denotar por $X$ de la superficie definida por $f$, y supongamos que $X$ es suave. Para cualquier compacto de superficie compleja, siendo K3 es equivalente a ser simplemente conectado y tener trivial canónica paquete.

Una hipersuperficie en $\mathbb P^n$ está conectado y simplemente se conecta por el teorema de Lefschetz, por lo que sólo necesitamos encontrar una condición de garantizar que la canónica paquete es trivial.

Esta condición está dada por la contigüidad de la fórmula, que dice que si el polinomio $f$ es de grado $d$, luego

$$ K_X = ( K_{\mathbb P^3} \otimes \mathcal O(d) )_{|X} = \mathcal O_X(d-4). $$

Este paquete es trivial si y sólo si $d = 4$, o en otras palabras, si $f$ es una cuártica.

Un divertido ejercicio de la participación de la adjuction fórmula es ver que hay muy pocos K3 superficies dado como completar las intersecciones en $\mathbb P^n$. De hecho, sólo existen en la dimensión 4, 5 y 6 si no recuerdo mal.

Answer 2

Estoy convencido de que $f(X,Y,Z)$ representa un 3d de la superficie de iff es una cuártica (cuarto grado) polinomio, consulte la página 16 de esta revisión de 3d de superficies:

http://arxiv.org/abs/hep-th/9611137