Los Números Primos No Dividiendo $\binom{2n}{n}$

Question

Deje $n \geq 3$, mostrar ${2n \choose n}$ no es divisible por $p$ para todos los números primos $\frac{2n}{3} <p\leq n$

Nota: Este hecho junto con otros hechos acerca de ${2n \choose n}$ son usados en una prueba de Bertrand postulado.

Answer 1

Creo que la idea es bastante simple (no verificar Brian sugerencia...) :

Necesitamos dividir $(2n)!$ $n!^2$ así que vamos a escribir los números primos de la descomposición de la $(2n)!$$n!$.

Supongamos que $\frac n2<p \le n$ es un primo mayor que $2$, entonces :

$$ \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}= \frac{ 2n\cdot (2n-1)\cdots(2p)\cdots (n)\cdots (p)\cdots 2\cdot 1} {(n)\cdots (p)\cdots 2\cdot 1\cdot (n)\cdots (p)\cdots 2\cdot 1} $$

Al $3p\le 2n$ tendremos al menos $3$ $p$'s en la parte superior y la fracción será divisible por $p$ más el dos $p$ va a cancelar !