Son subconjuntos compactos de la topologist seno círculo, equipado con la distancia de Hausdorff, ruta de acceso conectado?

Question

Creo que el topologist seno del círculo de $C$ es un ejemplo de una ruta de acceso conectado espacio que $\mathcal K(C)$ no es ruta de acceso conectado, donde $\mathcal K(C)$ denota compacto de subconjuntos de a $C$ equipada con la distancia de Hausdorff. Deje $K_1$ ser un punto, y dejar que $K_2$ $C \cap H$ donde $H$ es el cierre de la mitad superior del plano. Sospecho que no es continuo camino de $K_1$ $K_2$(trate de imaginar lo que una cosa se parecen), pero no saben cómo acercarse a mostrar esto. No sé cómo bregar algo útil a partir de la idea de un continuo camino de $\mathcal K(C)$.

No es difícil mostrar que si $X$ está conectado, por lo que es $\mathcal K(X)$. He leído la correspondiente pregunta acerca de la ruta de acceso de la conexión de un tiempo de vuelta en el C. C. Pugh del Real Análisis Matemático.

El topologist seno del círculo es esta cosa:

Cuando digo que la mitad superior del plano, me estoy imaginando la topologists curva sinusoidal parte de ser cortado por la mitad por el eje de las x.

Answer 1

$\mathcal{K}(C)$ es la ruta de acceso conectado.

Deje $d$ será el habitual métrica Euclidiana en $C$ y deje $d_H$ denotar la correspondiente distancia de Hausdorff en $\mathcal{K}(C)$. Deje $K_\epsilon = \{x : d(x,K) \le \epsilon\}$ denotar la cerró $\epsilon$-engorde de un conjunto compacto $K$, y recordar que, si $K' \subset K_\epsilon$$K \subset K'_\epsilon$$d_H(K, K') \le \epsilon$.

Definir $f : (0,1] \to C$$f(t) = (t, \sin(1/t))$$0 < t \le 1/2$, y para $1/2 \le t \le 1$ dejar de cubrir el resto de $C$ en cualquier manera continua (no será inyectiva pero eso está bien). Deje $x_1 = f(1)$.

Deje $K \subset C$ ser un conjunto compacto no vacío.

En primer lugar, vamos a mostrar que hay un continuo camino de$K$$K \cup \{x_1\}$. Elija cualquier $t_0$$f(t_0) \in K$, y definir $\sigma(t) = K \cup \{f(t)\}$$t_0 \le t \le 1$. Claramente $\sigma(t_0) = K$$\sigma(1) = K \cup \{x_1\}$, y la continuidad de la $\sigma$ se sigue inmediatamente de la continuidad de la $f$.

Ahora vamos a $\gamma(t) = K \cup f([t,1])$$0 < t \le 1$, y establecer $\gamma(0) = C$. Claramente $\gamma(t)$ es compacto para cada una de las $t$, e $\gamma(1) = K \cup \{x_1\}$. Puedo reclamar $\gamma$ es continua.

Para demostrar que es continua en 0, fix $\epsilon >0$ y suponer sin pérdida de generalidad que $\epsilon < 1/2$. Me dicen que si $t < \epsilon$ tenemos $\gamma(t)_\epsilon = C$ e lo $d_H(\gamma(t), \gamma(0)) = d_H(\gamma(t), C) \le \epsilon$. Por si $p \in C \setminus \gamma(t)$ $p = f(s) = (s, \sin(1/s))$ algunos $0 < s < t < \epsilon$. Ahora el punto de $q = (0, \sin(1/s))$ está contenido en $f([1/2,1])$ por supuesto, de ahí contenida en $\gamma(t)$, e $d(p,q) = s < \epsilon$, lo $p \in \gamma(t)_\epsilon$.

Ahora arreglar cualquier $t_0 > 0$; le mostraremos $\gamma$ es continua en a $t_0$. Por la continuidad de $f$ podemos encontrar $\delta$ que si $|t-t_0| < \delta$$d(f(t), f(t_0)) < \epsilon$. Fijar un $t$ y supongamos que $t \ge t_0$. Tenemos $\gamma(t) \subset \gamma(t_0) \subset \gamma(t_0)_{\epsilon}$ por la construcción. Si $p \in \gamma(t_0) \setminus \gamma(t)$ $p = f(s)$ algunos $s \in [t_0, t]$. Esto significa $|s-t| < \delta$, por lo tanto, dejar $q = f(t)$,$d(p,q) = d(f(s), f(t)) < \epsilon$. Por lo tanto $q \in \gamma(t)_\epsilon$$\gamma(t_0) \subset \gamma(t)_\epsilon$, y nos han mostrado $d_H(\gamma(t), \gamma(t_0)) < \epsilon$. Por simetría, el mismo es si $t \le t_0$.

Esta es una animación para ayudar a visualizar esta ruta.

https://youtu.be/WzjJFCj2whM