Ecuaciones diferenciales y crecimiento exponencial

Question

Estaba leyendo sobre ecuaciones diferenciales y me quedé atascado en un pequeño detalle con el que no puedo hacer las paces.

Si una población se duplica cada unidad de tiempo, escribiría

$$ \frac{dP}{dt}=2P $$

que por separación de variables daría

$$ P=P(0)e^{2t} $$

Pero también sé intuitivamente que debería haber

$$ P = P(0)e^{(ln2)t} = P(0)2^{t}$$

lo que sugiere que el factor en la ecuación diferencial debería ser $\ln2$ en lugar de 2. ¿Qué le pasa a mi lógica?

Gracias.

EDIT: Esta es la parte del libro de texto que me confundió. ¿No confunde también casos discretos y continuos?

Answer 1

La respuesta "intuitiva $P=P_02^n$ sólo es correcto en un sistema discreto. Es la solución de la ecuación funcional discreta $P_{n+1}=2P_n.$ Si la población se duplica al final de cada unidad de tiempo, entonces sí es correcta la solución discreta, donde $n$ es el número de unidades de tiempo discretas. Un número natural.

Sin embargo, en la ecuación diferencial $$\frac{dP}{dt}=2P$$ no estamos diciendo que la población se duplique después de un tiempo finito. En lugar de eso estamos diciendo que la derivada instantánea iguala el doble de la población. El aumento proporcional de la población después de un infinitesimal de tiempo es un infinitesimal dos veces mayor. $dP=2P\,dt.$ Es una afirmación totalmente diferente, y la intuición sobre los sistemas discretos no es aplicable.

Para relacionar un sistema de tiempo discreto con un sistema de tiempo continuo tiene que tener lugar algún proceso de limitación, que es cuando el número $e$ entra. Si imaginamos dividir cada unidad de tiempo en $n$ intervalos, y que la población aumente $2/n$ -fold cada intervalo, por lo que después de un subintervalo la población pasa a $P_0+2P_0/n$ etc., al final del $n$ subintervalos la población es

$$ P=P_0\left(1+\frac{2}{n}\right)^n. $$

El límite como $n\to\infty$ de la expresión entre paréntesis es $e^2$ . Esa es esencialmente la definición del número $e$ . Así que lo que empezó siendo una duplicación en el caso discreto se convierte en un aumento de 7,38 veces en el límite continuo. Y más en general, eso es lo que el número $e$ hace: cambia de base el crecimiento geométrico discreto $a^t$ en un crecimiento exponencial continuo $e^{at}.$

Debido a esta traslación entre discreto y continuo, un problema de crecimiento exponencial continuo que coincida con el problema discreto de "crecimiento al doble" en tiempos discretos tiene que tener $dP/dt=(\log2) P.$

O alternativamente, un problema de crecimiento geométrico discreto que coincide con un problema de crecimiento exponencial continuo con tasa de crecimiento $2$ ( $dP/dt=2P$ ) deben seguir $P_{n}=e^2P_{n-1}$ en lugar de duplicarse.

Answer 2

Estás mezclando problemas de tiempo discreto con problemas de tiempo continuo. Para los problemas de tiempo discreto, utilizamos ecuaciones en diferencias en lugar de ecuaciones diferenciales. Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_difference_equation para obtener más información sobre las ecuaciones en diferencias (o relaciones de recurrencia).

Su caso corresponde a una progresión geométrica definida por la siguiente relación de recurrencia (o ecuación de diferencia): $$P_{t+1}=2P_{t} \implies P_{t}=P_02^t.$$

Answer 3

La ecuación diferencial:

$$\frac{dP}{dt}=2P$$

tienen en cuenta el crecimiento infinitesimal de la población de forma continua en el tiempo, mientras que la ecuación

$$P = P(0)2^{t}$$

es válido en un contexto de incremento de tiempo discreto.

Answer 4

Su segundo razonamiento es correcto. Exactamente por la razón que has elaborado. "La población se duplica cada unidad de tiempo" tiene la ecuación diferencial $$ \frac{dP}{dt}=\ln(2)P $$ De forma más general, "La población aumenta un r% cada unidad de tiempo" tiene el modelo dinámico continuo $$ \frac{dP}{dt}=\ln(1+r/100)P $$

O visto de otra manera, duplicar por unidad de tiempo equivale a aumentar por un factor de $\sqrt 2$ cada media unidad de tiempo o por $2^{1/n}$ cada $n$ ª parte de una unidad de tiempo. Lo que significa que $$ \frac{P((k+1)/n)-P(k/n)}{1/n}=n(2^{1/n}-1)P(k/n) $$ y el límite del factor en la última expresión es $\ln(2)$ .