Holomorphic Parámetro Integral

Question

Deje $U\subseteq\mathbb{C}$ ser abierto, $\gamma$ una manera en la $\mathbb{C}$ que es picewise continuamente diferenciable y $f\colon rg(\gamma)\times U\to\mathbb{C}$ continuamente función. Considerar el parámetro integral $$ F(z):=\int_{\gamma}f(\omega,z), d\omega, z\in U. $$ Mostrar: que la función de $z\mapsto f(\omega,z)$ ser holomorphic en $U$ por cada $\omega\in rg(\gamma)$ continuamente con derivación $\frac{\partial}{\partial z}f(\omega,z)$$rg(\gamma)\times U$. A continuación, $F(z)$ es holomorphic en $U$, y se puede diferenciar en la integral: $$ F'(z)=\int_{\gamma}\frac{\partial}{\partial z}f(\omega,z)\, d\omega, z\U $$

Lamentablemente no sé cómo demostrar que. Sé que la prueba al $f$ es una función con valores en $\mathbb{R}$, pero no a prueba de aquí al $f$ tiene valores en $\mathbb{C}$.

Answer 1

El uso de Cauchy de la integral de la fórmula , tenemos$$f(w,z)=\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w,\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d} \zeta,$$ donde $C$ es el límite de un disco que contiene en $U$, que encierra $z$.

Por lo tanto

$$F(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \oint_C \frac{f(w,\zeta)}{\zeta-z}\, \mathrm{d} \zeta \mathrm{d} w. $$ Usando el teorema de Fubini nos puede cambiar el orden de integración, de modo que

$$F(z)=\oint_C \left[ \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma f(w,\zeta)\, \mathrm{d}w \right] \frac{\mathrm{d} \zeta}{\zeta-z}. $$

Las integrales de la forma $\oint_C \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z} \mathrm{d} \zeta$, con continuas $\varphi$ pueden ser diferenciadas en virtud de la integral símbolo (cf. Lema 3 en el Capítulo 4 de Ahlfors de texto').

Así $$F'(z)=\oint_C \left[ \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma f(w,\zeta)\, \mathrm{d}w \right] \frac{\mathrm{d} \zeta}{(\zeta-z)^2}, $$ y aplicando el teorema de Fubini, una vez más, nos encontramos con $$F'(z)= \int_\gamma \left[ \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(w,z)}{(\zeta-z)^2} \mathrm{d} \zeta \right] \mathrm{d} w $$

Reconocemos el interior de la integral como $\frac{\partial f}{\partial z}$ (de Cauchy de la integral de la fórmula). En general, hemos demostrado $$F'(z)=\int_\gamma \frac{\partial}{\partial z} f(w,z) \mathrm{d} w $$

Answer 2

En primer lugar, se puede probar con métodos reales, la división de la función y las integrales en partes real e imaginaria, y el uso de la caracterización de holomorphic funciones por el Cauchy-Riemann ecuaciones.

Tenemos, sin embargo, más bonito métodos a nuestra disposición en el análisis complejo. Una muy buena herramienta es

Teorema (Morera):

Deje $U \subset \mathbb{C}$ abierto, y $f \colon U \to \mathbb{C}$ una función continua. Si, para todos cerrados triángulos $\Delta \subset U$, usted tiene

$$\int_{\partial \Delta} f(z)\, dz = 0,$$

a continuación, $f$ es holomorphic en $U$.

(De Cauchy de la integral teorema proporciona a la inversa.)

Armados con eso, nos vamos a $\Delta$ una cerrada arbitraria triángulo en $U$ y calcular

$$\begin{align} \int_{\partial \Delta} F(z)\,dz &= \int_{\partial \Delta} \int_\gamma f(\omega,\,z) \, d\omega\,dz\\ &= \int_\gamma \int_{\partial \Delta} f(\omega,\, z)\,dz\, d\omega & \text{(Fubini)}\\ &= \int_\gamma 0\, d\omega & \text{(Cauchy)}\\ &= 0, \end{align}$$

de ahí la conclusión por la Morera del teorema que $F$ es holomorphic en $U$.

Puesto que la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial z}$ es continua por parte de la premisa, de la función

$$G(z) = \int_\gamma \frac{\partial f}{\partial z}(\omega,\, z)\,d\omega,$$

es continua en a $U$ (incluso holomorphic, por Morera), y se pueden calcular

$$\begin{align} \int_\alpha G(z)\,dz &= \int_\alpha \int_\gamma \frac{\partial f}{\partial z}(\omega,\, z)\,d\omega\,dz\\ &= \int_\gamma \int_\alpha \frac{\partial f}{\partial z}(\omega,\, z)\,dz\,d\omega & \text{(Fubini)}\\ &= \int_\gamma f(\omega,\, \alpha(1)) - f(\omega,\,\alpha(0))\,d\omega\\ &= F(\alpha(1)) - F(\alpha(0)) \end{align}$$

para cada camino de la integración de $\alpha \colon [0,\,1] \to U$. Esto implica que a $F'(z) = G(z)$.

(Hacer explícito, fix $z_0 \in U$ y elija $\alpha$ un segmento de línea recta que conecta $z_0$ $z \in U$ - $r := \lvert z-z_0\rvert$ lo suficientemente pequeño, el segmento está contenido en $U$. Entonces

$$\begin{align} \left\lvert\frac{F(z) - F(z_0)}{z-z_0} - G(z_0)\right\rvert &= \left\lvert\frac{1}{z-z_0}\int_\alpha G(\zeta) - G(z_0)\, d\zeta\right\rvert\\ &\leqslant \frac{1}{\lvert z-z_0\rvert}\int_0^1 \lvert G(z_0 + t(z-z_0)) - G(z_0)\rvert\cdot \lvert z-z_0\rvert\, dt\\ &\leqslant \max_{\lvert w-z_0\rvert \leqslant r} \lvert G(w) - G(z_0)\rvert, \end{align}$$

y la continuidad de la $G$ $z_0$ muestra la deseada convergencia.)