Distribución de la carga en una placa de condensador con dieléctricos .

Question

Tuve este Problema de Tarea con un condensador (placa paralela) que tiene un grupo de 3 dieléctricos entre ellos así :

Ahora nos pidieron que encontráramos la capacitancia equivalente y la distancia de separación entre las placas era $d$ y su área era $A$ .

Ahora asumí que los 3 dieléctricos individuales actuarían como condensadores individuales y K2 estaría en paralelo con K3 y su resultante en serie con K1

Este fue también el método que encontré en muchos otros libros.

$$C_{k1}~=~ \frac{2K_1\epsilon_oA}{d} $$ $$C_{k2}~=~ \frac{K_2\epsilon_oA}{d}$$ $$C_{k3}~=~ \frac{K_3\epsilon_oA}{d}$$

Finalmente $$C_{2,3}= \frac{K_2\epsilon_oA}{d} + \frac{K_3\epsilon_oA}{d} \implies \frac{(K_2+K_3)\epsilon_oA}{d}$$

Y $$C_{(2,3),1} = \frac{\frac{(K_2+K_3)\epsilon_oA}{d}.\frac{2K_1\epsilon_oA}{d}}{\frac{(K_2+K_3)\epsilon_oA}{d}+\frac{2K_1\epsilon_oA}{d}}$$

Nuestro profesor nos dijo que la respuesta era incorrecta, cuando le hablé de los libros nos dijo que los libros lo tenían todo mal. Así que le pedí la solución.

Dividió el Primer Dieléctrico en dos partes a lo largo de la línea que une la bisectriz del área :

E hizo la distribución de la carga mostrada.

Más tarde equiparó los potenciales y las cosas así

$$V_{Q'_1,Q'_2}=\frac{Q'd}{K_1\epsilon_oA}+\frac{Q'd}{K_2\epsilon_oA}~~....1$$ $$V_{Q''_1,Q''_3}=\frac{Q''d}{K_1\epsilon_oA}+\frac{Q''d}{K_3\epsilon_oA}~~....2$$

entonces dijo que $V_{Q'_1,Q'_2}=V_{Q''_1,Q''_3}$ luego puso los valores de $Q',Q''$ en la ecuación $$C=\frac{Q'+Q''}{V}$$

Básicamente obtener un resultado que era muy diferente del resultado dado en los libros .

• Le pregunté cómo una sola placa , la que está en contacto con el dieléctrico K1 podía tener Dos cargas diferentes en la misma superficie.
• Me dijo que era debido a los dieléctricos de acompañamiento
• ¿Era válida mi pregunta en el primer punto?
• ¿De quién es la solución correcta?

Answer 1

Tu profesor tiene razón. Los condensadores K2 y K3 no están en paralelo y luego en serie con el condensador K1, porque la línea vertical que separa K1 a la izquierda y K2 y K3 a la derecha no es una línea equipotencial. Es decir, ¡los potenciales del lado izquierdo de K2 y del lado izquierdo de K3 no son iguales!

En realidad tienes la mitad superior de K1 y K2 en serie y la mitad inferior de K1 y K3 en serie, todo junto en paralelo.

Nota interesante: sólo si has puesto una placa metálica entre K1 a la derecha y K2 y K3 a la izquierda, tu procedimiento sería correcto.

Answer 2

Como señala Pigmalión, el fallo de tu razonamiento es suponer que la superficie del $K_1$ El dieléctrico es un equipotencial, que no tiene por qué serlo. En la triple unión habrá cierta acumulación de carga y los campos eléctricos que la acompañan, lo que dará lugar a una diferencia de potencial entre las dos caras de la superficie del dieléctrico 1.

Permítanme explicar cómo los diferentes cargos $Q'$ , $Q''$ en el plato se producen. Cualquier dieléctrico en el interior de un condensador se polariza, en una cantidad que viene determinada por su susceptibilidad. En un campo eléctrico uniforme, esta polarización no provoca una acumulación de carga en el grueso del dieléctrico, pero sí un exceso de carga en la superficie. Esto hace que haya una capa de carga positiva en la placa negativa del dieléctrico (y viceversa). Esto, a su vez, "amortigua" la carga neta vista por el campo eléctrico, que es correspondientemente más baja y hace que la tensión sea menor, aumentando así la capacitancia.

Cuando se tienen dos dieléctricos diferentes en contacto con la misma placa, las cargas dieléctricas-superficiales serán diferentes, pero el principio fundamental es que la densidad de carga total (es decir, en el metal más el dieléctrico) es el mismo en ambas secciones . La situación sería la misma si los dos dieléctricos estuvieran separados (es decir, cortando el diagrama a lo largo de la línea roja discontinua): se necesita que las cargas totales, que determinan el campo eléctrico y por tanto la tensión, coincidan.

En general, entonces: hay diferentes cargas en el metal y en el dieléctrico (es decir, "su distribución"), pero la densidad de carga total es la misma.

Esto es suficiente para determinar la capacitancia total, por lo que su expresión para ello es correcta.

Sin embargo, no creo que las cargas de la placa de la izquierda estén distribuidas así. Si cortas a lo largo de la línea roja, definitivamente se distribuirá así. Si juntamos las dos mitades, ya que las uniones 1-2 y 1-3 no están al mismo potencial, veremos un cierto reordenamiento de las cargas y un campo eléctrico bastante complicado y no uniforme (ya que el problema ha perdido su invariancia de traslación vertical); esto puede incluso provocar cargas masivas en algunas secciones del condensador. La distribución de cargas en la placa izquierda, y por tanto en el dieléctrico vecino, será probablemente bastante complicada. Sin embargo, la capacitancia no cambiará ya que las dos mitades de la placa izquierda estaban al mismo potencial.