Demuestra que un triángulo es un triángulo rectángulo

Question

Me gustaría saber si hay algún teorema para demostrar que el triángulo ACB' es un triángulo rectángulo y que el ángulo ACB' es de 90°.

Sabemos que ACB y A'B'C' son triángulos rectángulos, así que en mi opinión ACB' también es un triángulo rectángulo, pero no sé cómo demostrarlo.

Si hay algún teorema o explicación, por favor házmelo saber.

Answer 1

Suponiendo que se trate de un prisma recto, tenemos que $\;CC'\perp\Delta ABC\;$ y dado que este último es un triángulo rectángulo en $\;C\;$ , entonces obtenemos que $\;AC\perp CBB'C'\;$ , ya que $\;AC\;$ es perpendicular a dos líneas diferentes en ese plano que pasan por el pie de la línea en el plano (punto $\;C\;$ ) , a saber: a $\;CC'\;$ y a $\;BC\;$ .

De aquí se sigue que $\;AC\;$ debe ser perpendicular a cualquier línea contenida en el plano $\;CBB'C'\;$ y por lo tanto también a $\;CB'\;$ .

Lo anterior es simplemente geometría vectorial en tres dimensiones.

Answer 2

Si solo tenemos que dar una declaración (sin probar) de que $\angle(ACB')=90°$ , puedes decir que:

Dado que los planos $ACC'A'$ y $CBB'C'$ son perpendiculares entre sí,

$\implies $ Cada segmento de línea contenido por $ACC'A' $ también debe ser perpendicular a la línea contenida por $CBB'C$.

De esta manera interpretamos que $AC$ es perpendicular a $CB'$ o $\angle ACB' = 90° $

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Pero como la pregunta no solo nos da la figura, sino que también se dan longitudes de los lados, nos dicta que usemos esos datos dados, y probemos de una manera mucho más simple solo usando el Teorema de Pitágoras y su converso.

Para probar $$ \angle ACB' = 90° $$ Necesitarás el Converso del Teorema de Pitágoras, que establece que en cualquier triángulo, si el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto al lado más grande (hipotenusa) es un ángulo recto

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Por favor toma en cuenta que $\color{green}{CC'B'B}$ es un rectángulo.

(Lo que parece ser un paralelogramo en tu figura $3D$)

Con $$BC= 8cm $$ y

$$BB' = 3$$

Así que, por el Teorema de Pitágoras, la diagonal de este rectángulo, $$B'C = \sqrt{(BB')^2+ (BC)^2}$$ $$ = \sqrt{(3)^2+(8)^2}$$ $$ = \color{green}{\sqrt{67}} $$

Ahora, la diagonal del rectángulo $ \color{red}{ AA'B'B } $ $$AB' = \sqrt{(AA')^2+ (A'B')^2}$$ $$AB' = \sqrt{(3)^2+10^2}$$ $$ =\color{red}{ \sqrt{103}} $$

Entonces $$ AB' = \sqrt{103},$$ $$ AC = 6 ,$$ $$CB' = (67) $$

Por lo tanto, en ($3D$) $AB'C$,

Vemos que, $$ (AB')^2=(\color{red}{103})^2=103 $$ y $$ AC^2+(CB)^2 $$ también es $$ = (\color{green}{67})^2+(6)^2=67+36=103 $$

Dado que el cuadrado del lado más largo (hipotenusa) $ AB' $ es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, es decir, $ AC $ y $ CB' $.

Y por lo tanto, por el converso del Teorema de Pitágoras , tenemos, $$\angle ACB' = 90° $$

Answer 3

Primero, encuentra las longitudes del triángulo, pero no necesitamos encontrar $AC$ porque ya está indicado. Para encontrar $AB'$, primero encuentra $AB$. $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, por lo tanto, $AB$ es de $10$ cm. $10^2+\sqrt{3}^2=100+3=103=\sqrt{103}$, entonces $AB'$ es $\sqrt{103}$. $B'C$ es $\sqrt{8^2+3}=\sqrt{67}$. Tomando estos valores, encontramos que $AB'$ es más largo que $AC$ y $AB$, entonces $AC^2+AB'^2=AB'^2$ si $\angle ABC'$ es recto (el teorema de Pitágoras solo funciona para triángulos rectángulos). Tomando esto, obtenemos: $\sqrt{67}^2+6^2=\sqrt{103}^2$, luego $67+36=103$, entonces $103=103$. Por lo tanto, $ABC'$ es un triángulo rectángulo.

Por favor, ten en cuenta que $AA'$ no tiene unidad, pero asumí que es $\sqrt3$.