Usted está en su mayoría en la pista de la derecha, pero parece que puede ser confundido acerca de los diversos productos que están involucrados. Como Jesse Madnick señala que ya hay un montón de suposiciones construido en lo que usted está buscando. Álgebras de Clifford son bastante general, pero usted está tratando con el sabor de ellos se llama Álgebra Geométrica (GA), que asume las cosas, como el hecho de que sus coeficientes son números reales (a diferencia de números complejos o de objetos de la más general de los campos), y la presencia de un punto del producto y una base ortonormales. Ya que esas son cosas que ya estaban asumiendo acerca de esta situación, básicamente, puede ignorarlos hasta que realmente desea conseguir en la tierra con álgebras de Clifford. Alternativamente, creo que el GA es muy gratificante y sorprendentemente fácil. Hay un libro muy bueno llamado "Álgebra Geométrica para los Físicos".
Ahora, los tres tipos importantes de producto en GA son:
\begin{align}
a\, b & & &\text{Clifford (or geometric) product} \\
a \cdot b & & &\text{the usual dot product} \\
a \wedge b & & &\text{the wedge product}
\end{align}
Para los vectores a lo menos, el producto escalar en realidad es sólo lo que usted está acostumbrado. Y yo diría que por su situación, usted nunca tendrá que utilizar un punto producto de otra cosa que de vectores. En particular, yo no haría caso de la ecuación que dice
\begin{equation}
a \wedge b = I \cdot (a \times b),
\end{equation}
y uso de la ecuación del apéndice que dice
\begin{equation}
a \wedge b = I(a \times b).
\end{equation}
Nota la falta de dot! La primera ecuación pasa a ser correcta utilizando los más avanzados métodos de representación de los estándares en GA, pero es realmente sólo una distracción.
Como para que la cuña del producto, el punto importante es que es antisimétrica: $a \wedge b = - b \wedge a$. Geométricamente, representa el plano generado por los vectores $a$$b$. Si el vector magnitudes son $\lvert a \rvert$ $\lvert b \rvert$ y el ángulo entre ellos es $\theta$, entonces la magnitud de $a \wedge b$ es sólo $\lvert a \rvert\, \lvert b \rvert\, \sin\theta$. Y desde la cruz del producto tiene esa magnitud, pero es un vector perpendicular a este plano, no debemos sorprendernos de que estén relacionados. (Tenga en cuenta que la costumbre de la cruz del producto se define específicamente para tres dimensiones; GA funciona en cualquier número de dimensiones, pero este producto cruzado relación sólo es válida en tres.) Esta $a \wedge b$ objeto se denomina "bivector". Usted también puede tener un "trivector" $a \wedge b \wedge c$, lo que representa el volumen generado por los tres vectores. En tres dimensiones, solo que hay un volumen tridimensional (a diferencia de muchos planos bidimensionales), por lo que cada "trivector" es proporcional a cada uno. Solemos escoger uno y llamar a $I$, como lo han encontrado.
Finalmente, llegamos a la geometría del producto. Para los vectores, la geometría del producto está relacionado con los otros dos productos como
\begin{equation}
a\, b = a \cdot b + a \wedge b.
\end{equation}
Yo he visto al menos uno de los tratamientos donde este se toma como la definición de la geometría del producto (el cual es seguido de forma inductiva para bivectors, y así sucesivamente) - así que usted podría tomar esta ecuación como evangelio y seguir adelante. Por ejemplo, si usted toma dos elementos de su base ortonormales, usted tiene
\begin{equation}
e_x\, e_y = e_x \cdot e_y + e_x \wedge e_y.
\end{equation}
Pero, puesto que son ortogonales, $e_x \cdot e_y = 0$, así que usted consigue
\begin{equation}
e_x\, e_y = e_x \wedge e_y.
\end{equation}
Por la misma lógica, también ha $e_y\, e_x = e_y \wedge e_x$, por lo que todos estos son iguales:
\begin{equation}
e_x\, e_y = e_x \wedge e_y = -e_y \wedge e_x = -e_y\, e_x.
\end{equation}
En general, si usted tiene vectores ortogonales, no sólo es la cuña de producto antisimétrica, sino también la geometría del producto, ya que son equivalentes en ese caso. Además, hemos
\begin{equation}
I = e_x \wedge e_y \wedge e_z = e_x\, e_y\, e_z.
\end{equation}
Y otro hecho útil es que para cualquier vector de $a$, antisymmetry nos dice que $a \wedge a = - a \wedge a = 0$, lo $a\, a = a \cdot a$. (De hecho, esta es la esencia de la relación que la define la geometría del producto en la mayoría de los tratamientos.)
Así que echemos un vistazo a $I(a \times b)$, ampliando $a \times b$ utilizando la fórmula que tienes. El geométrica del producto es lineal, lo que significa que podemos romper esta en cada uno de los términos, y cada coeficiente apenas sale de frente. Así que sólo podemos ver en $I\, e_z$, por ejemplo. Tenemos
\begin{equation}
I\, e_z = e_x\, e_y\, e_z\, e_z = e_x\, e_y\, (e_z\, e_z) = e_x\, e_y\, (e_z \cdot e_z) = e_x\, e_y = e_x\wedge e_y.
\end{equation}
Para el dual de Hodge de los vectores $e_z$ es sólo el plano perpendicular a él. (No hay derecho-regla de la mano es necesario en GA!) Recuerde que el orden es importante, sin embargo, para obtener
\begin{align}
I e_y &= - e_x\, e_z, \\
I e_x &= e_y\, e_z.
\end{align}
Usted puede utilizar estos datos con cada término en $I(a \times b)$ y conseguir algo como lo que tienes para $a \wedge b$.
...Excepto que tienes que $a \cdot b$ en la parte delantera de su expresión para $a \wedge b$. Eso está mal. En realidad, el lado derecho de su expresión para $a \wedge b$ es sólo $a\, b$. Así que por eso creo que te has confundido los tipos de productos en GA. Sólo quita el $a \cdot b$ y tendrás la expresión correcta.
Como punto de interés, usted puede haber oído hablar de cuaterniones, que son generalmente la mejor manera de representar rotaciones. Son frecuentemente presentado como "un escalar, además de un vector". Bien, resulta que el "vector" fue un accidente de la historia, y que son "realmente" bivectors - Hamilton sólo accidentalmente se utiliza la Hodge duales de la bivectors porque no conocen nada mejor. Así que las matemáticas que han aprendido anteriormente es precisamente de cuaterniones de las matemáticas: la geometría del producto $a\, b$ le da una cuádrupla. De la misma manera, estos también son Pauli spinors, que fueron accidentalmente representados por matrices complejas - la $e_x\, e_y$, etc., los objetos se comportan de manera algebraica como la habitual de las matrices de Pauli, por lo que podría haber aprendido QM el uso de estos en su lugar. Y entonces, realmente no es difícil lanzar $e_t$ (para el tiempo de la dirección) en la mezcla. Es todo el mismo tipo de manipulación; sólo tienes que recordar $e_t\, e_t = -1$. Luego de obtener el espacio-tiempo de álgebra, que te permite hacer alza como rotaciones, y Dirac spinors. La lista de aplicaciones para GA sólo sigue, así que usted puede ver por qué algunos de nosotros nos sentimos muy potente y pedagógicamente útil de la herramienta. También se prendió en una gran manera entre los gráficos por ordenador multitud de sus computacionalmente y conceptualmente eficiente representación de la geometría.
