Hace unos meses, mi hermano me había dado esta pregunta: \begin{equation} \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\cdots+\frac{1}{2005}} } } }+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{\cdots+\frac{1}{2005}} } } } \end{equation} Él me dijo, "esto se llama continuación de la fracción y la respuesta es igual a 1." Desde entonces, he aprendido de muchos sitios web acerca de la fibrosis quística, pero no para demostrar que la suma de los CFs es igual a 1. Solo puedo ver este patrón: \begin{equation} \cfrac{1}{2 + \frac{1}{3} }=\frac{\color{green}3}{\color{red}7}\text{ and }\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3}} }=\frac{\color{red}7}{10}=\frac{\color{red}7}{\color{green}3+\color{red}7}\text{, etc.} \end{equation} Digamos que el primer CF es igual a $\frac{a}{b}$, el segundo CF será igual a $\frac{b}{a+b}$. Por lo tanto \begin{equation} \frac{a}{b}+\frac{b}{a+b}=\frac{a^2+ab+b^2}{ab+b^2}=1+\frac{a^2}{ab+b^2}>1 \end{equation} Es esto correcto? Hizo que mi hermano truco de mí todo este tiempo? Aquí alguien me ayuda por favor, de preferencia alguien con un doctorado en matemáticas o un colegio profesor de matemáticas así que puede estar seguro de que estoy en lo correcto y se puede discutir con él. Quiero ganar esta vez, porque él siempre muestra su elegancia para mí. Por CIERTO, yo sólo soy un estudiante del 8vo nivel, así que por favor sea amable conmigo. Gracias. :)
Respuesta
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En primer lugar, me gustaría reiterar que:
- Su hermano reclamación es incorrecta
- La prueba que dio de que su hermano está mal, es bastante correcto
- Es muy similar a lo que yo hubiera escrito yo
Sólo para la integridad, aquí es lo que me han dicho: Vamos a $x$ ser el lado izquierdo del término en su hermano expresión. A continuación, la mano derecha de término es igual a $\frac1{1+x}$. Su hermano, las reclamaciones que $$x + \frac1{1+x} = 1.$$ Simplifying the left-hand side we get $$\frac{x^2+x+1}{x+1} = 1$$ which can happen only if $$x^2+x+1 = x+1$$ so $x^2 = 0$ and $x=0$. But clearly $x>0$, so your brother's claim is mistaken. This is exactly what you said, except you had $\frac ab$ in place of $x$.
También se podrían observar que este argumento funciona incluso si su hermano lleva las fracciones continuas en el pasado $2005$ hasta el infinito.
El resto de esta nota es sobre fracciones continuas un poco más general.
En lugar de la torpe notación $$z=a_0+ \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+ \cfrac{1}{\cdots+\frac{1}{a_n}} } } }$$ let's agree to write $z=[a_0; a_1, a_2,\ldots a_n]$. Vamos a considerar lo que sucede cuando dejamos de principios en la expansión de $z$ y escribir $$\begin{align}z_0 &= a_0\\ z_1 & = [a_0; a_1] = a_0 + \frac1{a_1}\\ z_2& = [a_0; a_1, a_2] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac1{a_2}}\\z_3&=[a_0; a_1,a_2,a_3]\\& \;\vdots\\ z = z_n & = [a_0; a_1,\ldots, a_n]\end{align}$$
Estos $z_i$ son llamados a la convergents de $z$. Al $i$ es aún tenemos incluso convergents y al $i$ es impar tenemos la extraña convergents.
Aquí es la cosa más importante a saber sobre fracciones continuas:
$$z_0\lt z_2 \lt z_4\lt\ldots < z < \ldots < z_5 < z_3 < z_1 \etiqueta{$\star$}$$
El incluso convergents de $z$ forma de un aumento de la secuencia que se aproxima al valor de $z$ desde abajo, mientras que los impares convergents forma una disminución de la secuencia que los enfoques $z$ desde arriba.
Tomemos $x = [0; 2, 3, 4, \ldots, 2005]$ como en el de su hermano. Tomando sólo los dos primeros convergents tenemos $0 < x < [0;2] = \frac12$, y tomando los próximos dos tenemos $$0 + \cfrac1{2+\cfrac13} < x < \cfrac1{2+\cfrac1{3+\cfrac 14}}$$ so $$\frac37 < x < \frac{13}{30}\\0.4286\ldots < x < 0.4333\ldots$$ which narrows down the possible value of $x$ rather dramatically. Even without using the computer to calculate the exact value, we now know it is not much more than $\frac37$.
Igualmente, os $y$ ser la mano derecha de la vigencia de su hermano expresión, $[0;1,2,3\ldots, 2005]$. Entonces tenemos $$[0] < y < [0;1] = 1\\ [0;1,2] = \frac23 = 0.6666\ldots < y < [0;1,2,3] = \frac7{10} = 0.7.$$
Ya esto es suficiente para probar que su hermano afirmación es errónea, porque tenemos $$1 < \frac{23}{21} = \frac37 + \frac 23 < x + y .$$
El libro Fracciones continuas por A. Ya. Khinchin es corto, y la primera parte no es demasiado difícil; usted puede tener una mirada en ella. Teorema 4 en la página 6 es el hecho importante de $(\star)$ que he mencionado anteriormente.
