Prueba por inducción: $\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i} = \sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{2i-1} - \frac{1}{2i}\right)$

Question

¿Cómo puede el siguiente probarse por inducción? $$\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i} = \sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{2i-1} - \frac{1}{2i}\right)$$ Yo soy de las ideas después de practicar durante un tiempo: $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right) $$ ¿Esto involucra telescópico de la serie?

Answer 1

SUGERENCIA $\rm\: $ $\rm\: f(n)\: =\: RHS - LHS\ $ muestra $\rm\ f(n+1) - f(n) = 0 = f(1)\:,\: $, por lo que la inducción $\rm\Rightarrow\ f(n) = f(1) = 0\:.$

NOTA $\rm\ \ f(n+1)\ =\ f(n)\ $ reduce a $\rm\displaystyle\ \frac{2}{2\:n+2}\ =\ \frac{1}{n+1}\ $ por una muy simple cálculo algebraico.

Observe cómo una simple transformación ha reducido el inductivo prueba a la trivialidad de que una función en $\rm\:\mathbb N\:$ es constante iff su primera diferencia se desvanece, es decir, $\rm\ f(n+1)-f(n)\ =\ 0\:.\:$ El inductivo prueba de ello es trivial telescópica de la cadena de desigualdades $\rm\ f(1)\ =\ f(2)\ =\ \cdots\ =\ f(n)\:.\:$ Nota: aunque es "evidente" que una función que nunca cambia, $\rm\:f(n+1)\ =\ f(n)\:$ es constante $\rm\:f(n)\ =\ f(1)\:,\:$ requiere la prueba!

Muchos inductivo pruebas son llevadas a cabo de esta manera, transformando el problema, por lo que la inducción se convierte en completamente trivial, por ejemplo, que un producto de términos $> 1$$> 1$. A menudo, como en el anterior, la reducción del problema de sucumbe a una trivial telescópico de la prueba. Usted puede encontrar $\:$ muchos ejemplos de telescopy en mis anteriores posts aquí. Estos métodos a menudo sirven para reducir las inducciones a los problemas que han puramente mecánica de la solución - solución mediante el uso de la memorización de álgebra con ningún ingenio necesario (por ejemplo, por medio de algoritmos en sistemas de álgebra computacional). Por ejemplo, el problema anterior se reduce a la verificación de que una función racional es cero, que solo requiere mecánico simple polinomio aritmético.

Answer 2

$n=1$, de verificación. tenga en cuenta que $$ \frac{1}{2(n+1)-1}-\frac{1}{2(n+1)}=\frac{(2n+2)-(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)} $$ (esto es lo que los cambios en la rhs por $n+1$). en el lado izquierdo, el cambio es $$ \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{(2n+2)+(2n+1)-2(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)} $$ como se desee.