$p \leqslant q \leqslant r$. Si $f \in L^p$$f \in L^r$$f \in L^q$?

Question

Posibles Duplicados:
La prueba de una interpolación de la desigualdad

Deje $f \in L^p$ $f \in L^r$ donde $1 \leqslant p \leqslant r$ . Entonces podemos decir que el $f \in L^q$ si $p \leqslant q \leqslant r$? ($f : \mathbb R^n \to \mathbb R$)

Answer 1

Sí: escribimos $q=ap+(1-a)r$ donde $0<a<1$ (si $a\in \{0,1\}$, es claro). Aplicamos Hölder de la desigualdad para el exponente $\frac 1a>1$ (es el conjugado es $\frac 1{1-a}$). Tenemos $$\int_{\Bbb R^n}|f|^qdx=\int_{\Bbb R^n}(|f|^p)^a(|f|^r)^{1-a}dx\leq \left(\int_{\Bbb R^n}|f|^p\right)^a\left(\int_{\Bbb R^n}|f|^r\right)^{1-a},$$ que es finito. También tenemos la desigualdad $$\lVert f\rVert_{L^q}\leq \lVert f\rVert_{L^p}^{\frac aq}\cdot \lVert f\rVert_{L^r}^{\frac{1-a}q}.$$