$\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=0 \rightarrow \lim_{x\to\infty}f(x)=0$?

Question

Supongamos que $f:[0,\infty)\to\Bbb R$ es diferenciable, y $\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=0$. Demostrar que $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$.

He intentado mostrar que $\lim_{x\to\infty}f(x)\neq0\rightarrow \lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))\neq0$

Si $\lim_{x\to\infty}f(x)\neq0, \exists e>0, \forall N\in\Bbb N, \exists x_1, x_2, ...>N,|f(x_i)|\ge e$.

De modo que la posibilidad de $\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=0$ es sólo al $f(x_i)+f'(x_i)=0$ es cierto para cualquier $i$.

Así que si $f(x_1)\gt0,$ debe ser decreciente, a menos de $e$

Pero existe $x_2\gt x_1 s.t. |f(x_2)|\ge e$

En conclusión, $f(x)$ tiene que disminuir al $x$ es lo suficientemente grande y lo $f(x)\ge e$ pero no existe una infinidad de puntos cuyo valor de la función no menos de $e$. Pero no puede suceder.

Es mi idea de una prueba válida?

No sé cómo formalmente escribir mi idea...por favor me enseñe..

Answer 1

Por L'H tenemos

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) e^x}{e^x}=\lim_{x \to \infty} \frac{(f(x)+f'(x)) e^x}{e^x}=0$$

Tenga en cuenta que L'H puede ser aplicado como estamos en el caso de $\frac{\mbox{something}}{\infty}$.

Alternativamente se Aplican de Cauchy del Valor medio Teorema de a$g(x)=e^xf(x)$$h(x)=e^x$.