Supongamos que $f:[0,\infty)\to\Bbb R$ es diferenciable, y $\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=0$. Demostrar que $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$.
He intentado mostrar que $\lim_{x\to\infty}f(x)\neq0\rightarrow \lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))\neq0$
Si $\lim_{x\to\infty}f(x)\neq0, \exists e>0, \forall N\in\Bbb N, \exists x_1, x_2, ...>N,|f(x_i)|\ge e$.
De modo que la posibilidad de $\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=0$ es sólo al $f(x_i)+f'(x_i)=0$ es cierto para cualquier $i$.
Así que si $f(x_1)\gt0,$ debe ser decreciente, a menos de $e$
Pero existe $x_2\gt x_1 s.t. |f(x_2)|\ge e$
En conclusión, $f(x)$ tiene que disminuir al $x$ es lo suficientemente grande y lo $f(x)\ge e$ pero no existe una infinidad de puntos cuyo valor de la función no menos de $e$. Pero no puede suceder.
Es mi idea de una prueba válida?
No sé cómo formalmente escribir mi idea...por favor me enseñe..
