Recordemos que el personaje de celosía algebraico de los personajes de $T^2$ es sólo $\mathbb{Z}^2$ donde $(n,m)$ corresponde a $(z,w) \mapsto z^nw^m$.
Ahora, pensando en $T^2$'s de doble acción en todos los de $\mathbb{C}[x,y]$, hasta la inversión de nuestra acción, cuando nos diagonalize en el carácter de celosía, que recibimos cada peso que aparecen con multiplicidad uno; es decir, la monomials $x^ny^m$ son una base para $\mathbb{C}[x,y]$, y tienen un peso $(n, m)$.
Ahora bien, si tenemos un ideal de a $I$ fijado por la acción, en particular es un subrepresentation de $\mathbb{C}[x,y]$. Es un hecho general de que un subrepresentation de un diagonalizable representación es de nuevo diagonalizable, en particular, su $I$ es un espacio vectorial de una suma directa de algunos de estos peso espacios, donde un monomio ideal (como un espacio vectorial es atravesado por monomials!).
*Edit: un personaje es solo un grupo homomorphism $T^2 \rightarrow \mathbb{C}^\times$. Empezamos con $T$ actuando en $\mathbb{C}^2$ por escala, por lo que conseguir un 'doble' de la representación en todos (regular) funciones en que, $\mathbb{C}[x,y]$: $$t \cdot f := f \circ t$$ (this is okay since $T^2$ es abelian).
Dada una representación $V$ de un toro, el análogo cosa para encontrar un autovector con autovalor $\lambda \in \mathbb{C}$ para un solo operador es encontrar un 'vector propio', para el conjunto del toro, nos referimos a algunos de los $v \in V$ tal que $t \cdot v = \lambda(t) v$, para algunos peso $\lambda: T^2 \rightarrow \mathbb{C}^*$ (este es el "exponencial" de la historia en álgebras de lie, donde realmente son sólo de forma simultánea diagonalizing una familia de desplazamientos de los operadores de $Lie(T^2)$).
Ahora, para $t = (z,w)$, $t \cdot x^n y^m = (zx)^n (wy)^m = z^n w^m x^n t^m$, por lo $x^ny^m$ es un autovector con peso $\lambda: (z,w) \mapsto z^n w^m$.
Así, el monomials forman un "eigenbasis' para $\mathbb{C}[x,y]$ $T^2$ de representación. Ya que corresponden a diferentes pesos, por cada peso que el espacio es 1 dimensiones.
¿Cómo ayuda esto a nosotros? Bien el hecho clave es que, si $V$ es diagonalizable $T^2$ de representación, es decir, tiene un eigenbasis, luego lo hace cualquier subrepresentation (es decir subespacio vectorial cerrado bajo la acción de la $T^2$). Ahora, su ideal estable en $T^2$ sería una subrepresentation, por lo que tiene una base que consta de los vectores propios, y dado que el peso espacios fueron unidimensional, estos tienen que ser monomials, que es lo que quería.
Vamos a probar el hecho clave, para una razonable algebraica de grupo $G$. Vamos a escribir $V^\lambda$ para el espacio de vectores propios de a $V$ peso $\lambda$, es decir,$V = \oplus_{\lambda \in \text{Hom}(G, \mathbb{C}^*) } V^\lambda$. El reclamo es que para $W$ un subrepresentation, la inclusión $\oplus W \cap V^\lambda \rightarrow W$ es un isomorfismo.
Bien, tome cualquiera de las $w \in W$, escribe como $v_{\lambda_1} + \ldots + v_{\lambda_n}$. Para $G$ razonable, el locus de $g$ que $\lambda_1(g) \neq \ldots \neq \lambda_n(g)$ debe ser no vacío (por ejemplo, el locus donde $\lambda_i = \lambda_j$ está cerrada, así que si $G$ es irreductible a la deseada locus es el complemento de un número finito de la unión de subvariedades de positivo codimension).
A partir de aquí, sabemos que $w, gw, \ldots, g^{n-1}w$ son todos en $W$. Por el determinante de Vandermonde estos son la base para la $v_{\lambda_1}, \ldots, v_{\lambda_n}$, como se desee.
