¿Cómo se miden las geodésicas espaciales? O bien: ¿Cuál es la interpretación física de las geodésicas espaciales?

Question

En relatividad general, las geodésicas temporales son las trayectorias de partículas de prueba en caída libre, parametrizadas por el tiempo propio. Por tanto, son fáciles de interpretar en términos físicos y de medir (al menos en principio).

¿Existe una interpretación/medida similar para las geodésicas espaciales? Por ejemplo, ¿cómo se mide el camino más corto entre dos puntos separados en el espacio? ¿Cuál es la interpretación de dicho camino (aparte de ser una geodésica)?

Mi primera suposición es que la respuesta implicará una imagen estática (sin cambios en el tiempo), por ejemplo, cómo se estiran los muelles elásticos entre dos puntos fijos. El problema de esta imagen es que las curvas por las que se doblan los muelles dependen de la rigidez del muelle. (Creo que se obtiene una geodésica cuando la rigidez es infinita, pero no es un efecto que se pueda medir en los campos gravitatorios cotidianos).

Adición:

Como ha señalado VM9 más abajo, debería fijar algo parecido a un espacio (una hipersuperficie similar a un espacio) antes de hablar de la distancia geodésica.

Por lo tanto, permítanme definir la geodésica espacial para mi propósito de la siguiente manera, que será una noción local: Tomemos un observador, que será simplemente un vector similar al tiempo $u$ en un acto $P$ del espacio-tiempo $M$ . Sea $V$ sea el complemento ortogonal de $u$ (un espacio tridimensional de direcciones espaciales en $P$ ). Sea $\Sigma$ sea la imagen de una pequeña vecindad de $0$ en $V$ bajo el mapeo exponencial (es decir, el conjunto de eventos que están conectados a $P$ por pequeñas geodésicas ortogonales a $u$ en $P$ ).

Es ese submanifold espacial el que interesa a mi observador. ¿Cómo se pueden medir físicamente las longitudes en $\Sigma$ ? Aunque todo proceso de medición lleva su tiempo, como también ha señalado VM9, supongamos que el tiempo vuela bastante despacio ( $c \to \infty$ ) de modo que se podría trabajar, por ejemplo, en coordenadas gaussianas (coordenadas síncronas) con respecto a $\Sigma$ .

Answer 1

Si usted tiene dos puntos de $p,q$ spacelike separados en un espacio-tiempo $M$ no hay nada como el menor spacelike curva de unirse a ellos! Cualquier spacelike curva de unirse a ellos puede ser continuamente deforma más y más cerca de un lightlike curva de unirse a los mismos puntos. Por lo que el $inf$ del conjunto de las longitudes de spacelike curvas uniendo los puntos es siempre cero, y este valor es alcanzado por un lightlike curva.

Para responder a su pregunta nos tenemos que fijar un marco de referencia. Así, en primer lugar nos tenemos que fijar en una familia de spacelike 3-superficies de $\{\Sigma_t\}_{t\in R}$ cuya unión es el espacio-tiempo $\cup_{t\in R} \Sigma_t =M$ y disjuntos a pares $\Sigma_t \cap \Sigma_{t'}=\emptyset$ $t\neq t'$ . Cada una de las $\Sigma_t$ equipada con el positivo de la métrica inducida por la de el espacio-tiempo es una de tres dimensiones resto del espacio.

Si usted se considera uno de ellos, decir $\Sigma_{0}$ y corregir $p,q \in \Sigma_{0}$ (se supone), y el más corto (obviamente spacelike) de la curva perteneciente a $\Sigma_{0}$ y unirse a ellos existe, si $p$ $q$ son suficientemente cerca el uno del otro, en vista de un conocido resultado de la geometría de Riemann.

Muy desafortunadamente, todo lo que he dicho anteriormente es de carácter teórico, en el sentido de que no puede realizarse en la práctica. Esto es debido a que tempus fugit". Quiero decir que usted tiene que tomar el tiempo de evolución en cuenta, ya que los experimentos no es una instantánea procedimiento. Por lo $p$ $q$ tiene que pensar mejor de como las intersecciones con $\Sigma_0$ de un par de líneas $\gamma_p$, $\gamma_q$ describir las historias de puntos materiales. En vista de la evolución en el tiempo, mientras se llevan a cabo experimentos (la búsqueda de los más cortos de la curva de unir los puntos) en el intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$, en realidad se está tratando con el conjunto de la subclase de los espacios de descanso $\Sigma_t$$t\in [t_1,t_2]$.

Aquí un par de problemas.

(1) Primero de toda la geometría de la $\Sigma_t$, que la inducida por la métrica espacio-tiempo, puede ser diferente para cada instante $t$.

(2) no Hay forma trivial de identificar puntos pertenecientes a diferentes $\Sigma_t$ con el fin de definir la noción de un punto en el resto (al menos durante el intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$) con el marco de referencia.

La forma más sencilla de deshacerse de los problemas de ambos, sin que esto suponga no físico instantáneo de los procedimientos de medición, está suponiendo que el espacio-tiempo, admite un timelike la Matanza de simetría y que el $\Sigma_t$ son compatibles con la simetría. Esto significa que hay una familia de distinto timelike curvas $\gamma_r = \gamma_r(u)$ -- $r$ variando en algunos set -- llenar el universo y que, moviéndose a lo largo de uno de ellos, la métrica de las propiedades del espacio-tiempo permanecen fijos. Además, el parámetro de $t$ etiquetado de las superficies de $\Sigma_t$ coincide con el parámetro $u$$\gamma_r$, por lo que $\Sigma_u$ no es sino la evolución de $\Sigma_0$ a lo largo de las curvas $\gamma_u$. $t$ es el parámetro de tiempo de la imagen de referencia. El conjunto de los índices de $r$ en el etiquetado de la Matanza de las curvas de $\gamma_r$ puede ser identificado a los puntos de $\Sigma_0$ y, redefinir el origen de $t$ en cada curva, podemos organizar las cosas para que cada curva de $\gamma_r$ intersecta $\Sigma_0$ exactamente para $t=0$.

Dentro de esta imagen, para que venga a tu problema, suponemos que $\gamma_p$ $\gamma_q$ son dos curvas en el dicho de la familia, y podemos decir que el material cuyo punto de $\gamma_p$ $\gamma_q$ representan las historias están en reposo con el marco de referencia $(\{\gamma_r\}_{r\in \Sigma_0},\{\Sigma_t\}_{t\in R} )$. Ya que las curvas de $\gamma_r$ representan isometrías, $\Sigma_{t_1}$ $\Sigma_{t_2}$ tiene la misma geometría que no depende del tiempo $t$. En otras palabras, el espacio-tiempo se divide en el producto $R \times \Sigma$ donde $\Sigma$ es cualquiera de las $\Sigma_t$ equipada con el inducido (positiva de Riemann) de la métrica del espacio-tiempo que, por construcción, no depende del tiempo $t$. En particular, las distancias de $\gamma_p(t)$$\gamma_q(t)$, medido en cada una de las $\Sigma_t$ no dependen $t$.

En referencia para el resto de espacio de $\Sigma$ equipada con una geometría estática se puede responder a su pregunta. El más corto de la curva que une los dos puntos (ahora en reposo en el marco de referencia!) es la geodésica natural de la geometría en $\Sigma$. En la práctica, puede ser construida como la cadena de unir los puntos con el menor número de enlaces. O usted podría adoptar el transporte paralelo punto de vista: usted tiene que construir una secuencia continua de idéntica rígido gobernantes paralelamente transportados (la (n+1)ésima regla se mueve, mientras que queda en contacto con el enésimo) de unirse a $p$$q$. La longitud de la línea geodésica es el número de enlaces en el primer caso, o el número de los gobernantes en el segundo caso.

Answer 2

No creo que las geodésicas espaciales no sean entidades físicas o, en el mejor de los casos, que sólo puedan entenderse en términos de taquiones. Matemáticamente, las trayectorias geodésicas semejantes al espacio se comprenden bien en el espaciotiempo 3+1. En principio, pueden calcularse a partir de una métrica. En principio, pueden calcularse a partir de una métrica. Dados 2 sucesos en una parte local (pero no infinitesimal) del colector, pueden unirse mediante una única curva geodésica. Si es temporal tenemos una interpretación de una partícula de prueba en caída libre, y su longitud es el tiempo transcurrido en el cuerpo. Si es espacial, estoy de acuerdo en que para observadores nulos la distancia a lo largo de estas geodésicas desaparece y, en general, la longitud depende del observador. Sin embargo, existe una máximo distancia a lo largo de la geodésica espacial una vez definida la curva. Lo sé intuitivamente porque la distancia de la Tierra a la Luna observada por nosotros, 384.400 km, no puede ser medida como mayor por ningún observador. La complicación viene cuando el espaciotiempo no es estático. Entonces todo lo que tenemos son dos partículas en dos trayectorias que emiten un destello cada una para definir 2 sucesos. Si lo sabemos todo sobre el espaciotiempo en esta vecindad, podemos calcular de nuevo la geodésica y hallar su longitud máxima única. Así que, en principio, es posible encontrar la geodésica y la longitud si suponemos que es posible conocer la métrica de la vecindad y las coordenadas de los 2 sucesos. En nuestro sistema solar sí conocemos la métrica y podemos dar coordenadas a los sucesos, por lo que podemos calcular geodésicas entre sucesos y, por tanto, su longitud (máxima). Está claro que hay casos patológicos en los que hay problemas, por ejemplo, en las singularidades, pero hasta que no se me convenza de lo contrario, mantengo la opinión de que las geodésicas espaciales son físicas y tienen una longitud invariante en la que todos los observadores pueden estar de acuerdo.