La existencia de un homeomorphism que no devuelven la cantidad de

Question

Deje $f:X\rightarrow X$ un homeomorphism donde $X$ es un espacio métrico compacto.

Fix $x\in X$, denotan $O(f,x)=\{ f^n(x):n\in \mathbb{Z}\}$ la órbita de $f$$x$.

Para $m\in \mathbb{N}$ denotar $O(f,x,m)=\{ f^j(x): \vert j\vert \leq m\}$ $\#(A)$ es el cardenal de $A$.

Estoy interesado en la existencia de un ejemplo de $f$ tal: no es $\delta>0$ con la siguiente propiedad

$$\displaystyle{\lim_{m\to\infty}}\frac{\#(B[z,\delta]\cap O(f,x,m))}{\#(O(f,x,m))}=0$$ donde $z\in \overline{O(f,x)}\setminus O(f,x)$ $B[z,\delta]$ es la bola cerrada.

Les agradezco si me pudieran dar alguna sugerencia para saber si tales homeomorphism existe.

Answer 1

Es fácil encontrar puntos de referencia para el cambio completo: $X=\{0,1\}^{\mathbb Z}$, $f(x)_n=x_{n+1}$. Tomar una $x$ que es principalmente de cero, pero también ha arbitrariamente largos intervalos de $1$'s, por ejemplo $$x_n = \begin{cases} 1 & 2^k\le n \le 2^k + k \\ 0 & \textrm{otherwise} \end{casos} .$$ A continuación, $z_n=1$ está en la órbita de cierre, pero la $f^n x$ sólo puede estar cerca de $z$ si $n\approx 2^k$, por lo que el límite es de hecho cero para todos los pequeños de $\delta>0$.