¿Cuál es el número de días previsto para que un alumno estudie si ha aprobado el examen?

Question

Un alumno estudia para un examen durante al menos un día. Al principio, la probabilidad de suspender el examen es igual a $1$ . Con cada día de estudio, la probabilidad de suspender el examen disminuye $c$ tiempos. La probabilidad de estudiar un día más es igual a $p$ . ¿Cuál es el número de días que se espera que un estudiante estudie si ha aprobado el examen?

Traté de resolverlo así: Dejemos que $Y$ sea una variable aleatoria que sea igual al número de días que el alumno estudia. $$EY = \sum_{i=1}^{\infty}{ i \cdot p^i \cdot \left(1-\frac{1}{c^i} \right)} $$

¿En qué converge esta serie, si es que lo hace? ¿Es esto correcto?

Answer 1

Nota Estoy bastante seguro de que he cometido varios errores de cálculo, pero la idea general debería ser correcta

Dejemos que $Y$ sea el número de días que el alumno estudió para el examen. A continuación,

$$P(Y=k) = p^{k-1}(1-p)$$

Dejemos que $W$ sea la probabilidad de que el alumno apruebe el examen. Sabemos qué

$$P(W \mid Y=k) = 1-c^k$$

a partir de la cual calculamos (Ley de probabilidad total)

$$P(W) = \sum_{k=1}^{\infty} P(W, Y=k) = \sum_{k=1}^{\infty} P(Y=k)P(W\mid Y=k) = (1-p)\sum_{k=1}^{\infty} p^{k-1}(1-c^k) = \frac{1-c}{1-pc}$$

A continuación, calculamos

$$P(Y=k\mid W) = \frac{P(Y=k, W)}{P(W)} = p^{k-1}(1-p)(1-c^k)\frac{1-pc}{1-c}$$

Por último, sólo tenemos que calcular la expectativa de este

$$E[Y \mid W] = \sum_{k=1}^\infty kP(Y=k\mid W) = \frac{(1-p)(1-pc)}{p(1-c)}\sum_{k=1}^\infty kp^{k}(1-c^k) =$$ $$= \frac{1-p^2c}{(1-p)(1-pc)}$$