Simplificar la expresión: $(2x+1)×\left(x^2+(x+1)^2 \right)×\left( (x^4+(x+1)^4) \right)×...×\left(x^{64}+(x+1)^{64}\right)$

Question

Simplificar la expresión:

$$(2x+1)×\left(x^2+(x+1)^2 \right)×\left( (x^4+(x+1)^4) \right)×...×\left(x^{64}+(x+1)^{64}\right)$$

He utilizado el método general:

$(2x+1)(2x^2+2x+1)(2x^4+4x^3+6x^2+4x+1)×...$

Pero, Pero estoy atascado aquí.

Answer 1

Podemos reescribir el producto como una telescópica. El resultado final es: $$\prod_{k=0}^6 \left((1+x)^{2^k} + x^{2^k}\right) = \prod_{k=0}^6 \frac{(1+x)^{2^{k+1}} x^{2^{k+1}}}{(1+x)^{2^k} x^{2^k}} = \frac{(1+x)^{2^7} - x^{2^7}}{(1+x)^{2^0} x^{2^0}} = (x+1)^{128} x^{128}$$

Answer 2

Escribir $2x + 1 = (x+1)^2 - x^2$ y el uso de la factorización para $a^2 - b^2$ repetidamente.

Answer 3

Un método como este:

$$\left( x+1-x\right)×\left(x+1+x \right)×\left((x+1)^2+x^2 \right)×\left( (x+1)^4+x^4\right)×...×\left((x+1)^{64}+x^{64}\right)=(x+1)^{128}-x^{128}$$