¿Qué significa para un Simpléctica Forma de ser invariante bajo el Grupo de Acción?

Question

Esta debe ser una pregunta muy básica para las personas familiarizadas con el diferencial de los colectores. Yo soy más o menos nuevo en el campo así que me disculpo de antemano por mal definidas las preguntas, si las derivadas. Me separé de la pregunta en 3 más específicos.

Deje $\mathcal{M}$ ser una variedad Diferenciable y $\omega$ una Forma Simpléctica en $\mathcal{M}$.

He leído la definición de un Symplectomorphism: Un mapa de $\phi:(\mathcal{M},\omega)\to(\mathcal{N},\omega ')$, s.t. $\phi^*\omega=\omega '$ donde $\phi^{*}\omega(X,Y)=\omega(d\phi(X),d\phi(Y))$.

El Grupo de Acción $\Phi:(G\times\mathcal{M})\to\mathcal{M}$ de la $G$ puede ser considerado como mapas de $\Phi_g:(\mathcal{M},\omega)\to(\mathcal{M},\omega)$$g\in G$.

1. Es el significado de "invariantes bajo el Grupo de Acción $\Phi$ "" $\Phi_g$ es un Symplectomorphism para todos los $g\in G$"?

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Ejemplo:$\mathcal{M} = \mathbb{R}^3$; $\omega=\varepsilon_{abc}x^c dx^a \land dx^b$, $\varepsilon$ siendo la de Levi-Civita símbolo. (Sé que en $\mathbb{R}^3$, $\omega$ no puede ser una Forma Simpléctica, pero en $S^2 \subset \mathbb{R}^3$ debe ser.)

2. ¿Cómo puedo mostrar este formulario es "invariante bajo SU(2)"?

He encontrado esta declaración en la literatura. Supongo que la declaración implica la acción en $\mathbb{R}^3$ debe ser tomado en forma "natural" como SO(3) de la matriz muliplication.(?) Para entender realmente lo que está pasando, me gustaría ver las dos formas de mostrar esto: una forma abstracta y una coordenada orientada a "just-calcular" (sólo si es posible, por supuesto).

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Si $\omega$ es una Forma Simpléctica, a continuación, hay una correspondiente Poisson Soporte a través de $\{f,g\}:=\omega(X_f,X_g)$ donde $X_f$ es un Campo de Vectores Hamiltoniano.

3. ¿Cómo funciona la invariancia de un Simpléctica Forma de relacionarse con su correspondiente Corchete de Poisson? Más específico: debe ser un equivalente a la ecuación para la distribución de poisson soporte de expresar la invarianza de la estructura simpléctica. ¿A qué se parece?

Gracias, eso es todo.

Answer 1

1. Sí.
2. Si $\omega$ es una forma de volumen en $M$ $f:M\to M$ un diffeomorphism, a continuación,$$\left(f^\ast\omega\right)_x=\det d_xf\cdot\omega.$$ In particular, if $\ det d_xf=1$ for all $x\in M$, then $\omega$ is $f$-invariante. Es el caso de la acción de la $SO(3)$ $S^2$ por multiplicación.
3. Un diffeomorphism $\varphi : (M,\omega)\to(M,\omega)$ es un symplectomorphism el fib es un mapa de Poisson, es decir, para todos los $f,g\in C^\infty(M)$: $$\{f,g\}\circ\varphi=\varphi^\ast\left(\{f,g\}\right)=\{\varphi^\ast f,\varphi^\ast g\}=\{f\circ\varphi,g\circ\varphi\}$$