El exponente no es en general un número entero, y por lo tanto, la divergencia no es realmente polinomio. Dicho esto, vamos a estar de acuerdo para llamar a una estructura de la forma $x^a$ un polinomio, para cualquier (real) $a$.
El caso general.
En términos generales, usted no puede realmente probar que la divergencia es siempre polinomio. Si $f(x)$ tiene una singularidad en $x_0$, se puede definir
$$
k\equiv-\lim_{x\to x_0}\frac{\log|f(x)|}{\log |x-x_0|}
$$
Si $k$ es finito, entonces la singularidad es de la forma
$$
f(x)\sim (x-x_0)^{-k}
$$
lo que demuestra, a posteriori, que la divergencia es de hecho polinomio.
Puede muy bien suceder que $k$ no existe. Algunos ejemplos son
$$
\begin{aligned}
f(x)&=\mathrm e^{-1/(x-x_0)^a}\\
f(x)&=a\log|x-x_0|
\end{aligned}
$$
donde $k=-\infty$ $k=0$ respectivamente. En ninguno de estos casos es la divergencia polinomio.
Por supuesto, estos ejemplos de $f$ lugar no físico. En general, usted tiene varios principios físicos que permiten restringir las posibles funciones de $f$, y a veces puede incluso tener éxito en demostrar que los $k$ es en realidad finita (cf. un CFT a continuación). En términos generales, es mejor decir que el exponente crítico $k$ se ha observado que el ser finito para una amplia clase de teorías, y esto es confirmado por el cálculo explícito (numéricos o de otro tipo) en muchos de los ejemplos estudiados.
El caso de los CFT.
Si $\phi_1,\phi_2$ es un par de campos primarios de peso $\Delta_1,\Delta_2$, la invariancia conforme implica que la correspondiente función de correlación está dada por
$$
\langle\phi_1(x)\phi_2(0)\rangle=\frac{a}{|x_1-x_2|^{\Delta_1+\Delta_2}}
$$
en el que caso de que la divergencia es de hecho polinomio. Para una prueba de esta fórmula, véase, por ejemplo, 1511.04074, §2.6.
Un general QFT, en un punto crítico, es descrito por un CFT, y por lo tanto, este resultado es válido en prácticamente todos los sanos QFT.
