Las funciones inversas y las funciones siempre se encuentran en la línea $y=x$ ?

Question

Si tengo una función, la función inversa, por definición será un reflejo de la función original en la recta $y=x$ Entonces, si quisiera encontrar el punto de intersección, en lugar de resolverlo igualando ambas funciones, ¿podría suponer que el punto de intersección entre las dos funciones estará siempre en el punto $y=x$ ?

Esto me permitiría resolver problemas mucho más fácilmente, en lugar de tener que resolver ecuaciones cuárticas, por ejemplo.

Answer 1

No necesariamente. Si $f(x)=-x$ esto implica que $f^{-1}(x)=-x$ (ya que $f(f(x))=f(-x)=x$ ), por lo que los gráficos de $f$ y $f^{-1}$ se cruzan en todas partes.

Otro ejemplo $g(x)=-\frac{1}{x}$ que también es su propia inversa, pero no se cruza con $y=x$ en absoluto.

Answer 2

Como ya ha señalado cielo90 y Marra en los comentarios, en general una función y su inversa no necesitan tener una intersección. Esto puede verse en el ejemplo que se da en los comentarios. Otro ejemplo sería $f(x)=\exp(x)$ y su inversa $f^{-1}(x) = \log(x)$ cuyas gráficas nunca se cruzan.

Obsérvese que, aparte del caso mencionado por Pargos donde una función es su propia inversa y hay un número infinito de intersecciones, también se pueden encontrar ejemplos con un conjunto finito de intersecciones, p. ej. $f(x) = -x^3$ y su inversa $f^{-1}(x) = -\sqrt[3]{x}$ cuyas gráficas se cruzan en los puntos $(-1,1)$ , $(0,0)$ , $(1,-1)$ donde el primero y el segundo no están claramente en la línea $y=x$ .

Answer 3

Puede demostrar que si $f$ es un estrictamente creciente (por supuesto es 1-1 y por lo tanto tiene una inversa), entonces los puntos de intersección de $C_f$ (el gráfico de $f$ ) y $C_{f^{-1}}$ mentir sobre la línea $y=x$ . Supongamos un punto $A(x,y)$ que es un punto de intersección de $C_f$ y $C_{f^{-1}}$ . Desde $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple una de las siguientes condiciones $x=y$ o $x>y$ o $x<y$ . Nos limitaremos a mostrar que las dos últimas conducen a una contradicción debido a que $f$ está aumentando. En primer lugar, desde $A\in C_f, C_{f^{-1}}$ sostiene $y=f(x)=f^{-1}(x)$ . Ahora cogemos casos:

• Sea $x>y$ . Entonces $x>y \Rightarrow x>f^{-1}(x)\Rightarrow f(x) > f(f^{-1}(x)) \Rightarrow y>x $ una contradicción.
• Ahora dejemos que $x<y$ . Del mismo modo $x<y \Rightarrow y<x$ una contradicción.

Por lo tanto $y=x$ lo que significa gráficamente que los puntos de intersección se encuentran en la recta $y=x$ . ( $f$ aumentando $\Rightarrow$ (si $(x,y)\in C_f, C_{f^{-1}}$ entonces $y=x$ )).

Sin embargo, la restricción que $f$ sea estrictamente creciente es absolutamente necesario ya que como otros han mencionado es un caso bastante común que las curvas se crucen fuera de $y=x$ . Si los problemas se refieren a funciones crecientes, basta con indicar $f(x) = f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x) = x$ (La inversa es trivial: si $f(x)=x$ entonces $x = f^{-1}(x)$ Así que $f(x)=f^{-1}(x)$ y vale para cualquier función 1-1) y reduce tu ecuación. Esta técnica es útil no sólo para polinomios, sino también para funciones que impliquen, por ejemplo, logaritmos y exponenciales. Consideremos $f(x) = \ln(x-1) + x$ . Sin el teorema anterior se llega a resolver un sistema de ecuaciones en el que intervienen funciones trascendentales, mientras que con el teorema basta con demostrar $f$ es creciente y entonces se obtiene inmediatamente que el único punto de intersección de $f$ con su inversa es $(2,2)$ . Esto significa que, aunque no se puede utilizar con $y = -x^3$ de mkausp los puntos de intersección de $y=x^3$ están obligados a estar en $y=x$ . Espero que esto ayude.

Answer 4

Sobre la base de las otras respuestas:

Generalmente, $f$ y $f^{-1}(x)$ se cruzan en cada $x$ y $f(x)$ para lo cual $f(f(x))=x$ . Visualiza esto como un par de puntos reflejados en la línea $f(x)=x$ . Especialmente, se cruzan en cada $x$ para lo cual $f(x)=x$ que son precisamente los puntos de este "espejo".

Chappers construyó una función para la que esto se cumple para cada $x$ y, por tanto, se encuentra con su inversa en todas partes. No es más que una línea recta que pasa por el "espejo", que sigue siendo la misma cuando se refleja.

Pero es fácil ver que $f(f(x))$ no se cumple necesariamente, por ejemplo cuando $f(x)$ siempre es mayor o menor que $x$ como en los ejemplos de mkausp $exp$ y $log$ . Nunca cruzan el espejo y por lo tanto no pueden contener un par de puntos reflejados.

Answer 5

Sólo tienes razón a medias. Siempre se reflejarán sobre la línea recta $ x=y$ . Intersección de $x=y$ y la función ( o su inversa) suministra todos los real puntos de solución, sólo si partes de la gráfica se encuentran por debajo de la línea $ x=y$ .

Donde aparezca x borre y ponga y.Donde aparezca y original borre y ponga x. Ese procedimiento le da la función inversa reflejada sobre $x=y$ si corta o no $x=y$ en real puntos.

Por ejemplo, el círculo

$$ x^2+ y^2 + 5 x + 3 y + 6 = 0 $$

tiene raíces $(-3,-1) $ en x o y según su método.

Así que $(-3,-3), (-1,-1) $ son puntos de intersección sin más cálculos.