Puede demostrar que si $f$ es un estrictamente creciente (por supuesto es 1-1 y por lo tanto tiene una inversa), entonces los puntos de intersección de $C_f$ (el gráfico de $f$ ) y $C_{f^{-1}}$ mentir sobre la línea $y=x$ . Supongamos un punto $A(x,y)$ que es un punto de intersección de $C_f$ y $C_{f^{-1}}$ . Desde $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple una de las siguientes condiciones $x=y$ o $x>y$ o $x<y$ . Nos limitaremos a mostrar que las dos últimas conducen a una contradicción debido a que $f$ está aumentando. En primer lugar, desde $A\in C_f, C_{f^{-1}}$ sostiene $y=f(x)=f^{-1}(x)$ . Ahora cogemos casos:
- Sea $x>y$ . Entonces $x>y \Rightarrow x>f^{-1}(x)\Rightarrow f(x) > f(f^{-1}(x)) \Rightarrow y>x $ una contradicción.
- Ahora dejemos que $x<y$ . Del mismo modo $x<y \Rightarrow y<x$ una contradicción.
Por lo tanto $y=x$ lo que significa gráficamente que los puntos de intersección se encuentran en la recta $y=x$ . ( $f$ aumentando $\Rightarrow$ (si $(x,y)\in C_f, C_{f^{-1}}$ entonces $y=x$ )).
Sin embargo, la restricción que $f$ sea estrictamente creciente es absolutamente necesario ya que como otros han mencionado es un caso bastante común que las curvas se crucen fuera de $y=x$ . Si los problemas se refieren a funciones crecientes, basta con indicar $f(x) = f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x) = x$ (La inversa es trivial: si $f(x)=x$ entonces $x = f^{-1}(x)$ Así que $f(x)=f^{-1}(x)$ y vale para cualquier función 1-1) y reduce tu ecuación. Esta técnica es útil no sólo para polinomios, sino también para funciones que impliquen, por ejemplo, logaritmos y exponenciales. Consideremos $f(x) = \ln(x-1) + x$ . Sin el teorema anterior se llega a resolver un sistema de ecuaciones en el que intervienen funciones trascendentales, mientras que con el teorema basta con demostrar $f$ es creciente y entonces se obtiene inmediatamente que el único punto de intersección de $f$ con su inversa es $(2,2)$ . Esto significa que, aunque no se puede utilizar con $y = -x^3$ de mkausp los puntos de intersección de $y=x^3$ están obligados a estar en $y=x$ . Espero que esto ayude.
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Cuando te refieres a "intersección", ¿te refieres a la intersección de los conjuntos de imágenes de la función y su inversa?
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@marra, sí, es correcto.
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Considere la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x+1$ . Así que $y=x+1\iff x=y-1$ y $f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x-1$ es la función inversa. Para buscar un punto de intersección ha de cumplirse que $x-1=x+1$ lo cual es claramente falso. Así que aquí tienes dos funciones, siendo una la inversa de la otra que no se intersecan
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Entonces la proposición es en general falsa. Consideremos, por ejemplo, las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x-1$ . Son la inversa de la otra y sus conjuntos de imágenes no tienen intersección.
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@sky90 pensamos en el mismo ejemplo :-P
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@sky90, la pregunta se propone a aquellas funciones, que sí se intersecan, en un punto.
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@Marra esto es gracioso ^^
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Por ejemplo, f(X) = x^2-6
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@Gurjinder esta función que diste no es invertible en general. No es que simplemente reflejando una función sobre el $y=x$ no es una forma general de encontrar su inversa, ya que ni siquiera puede existir.
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Perdón, por el rango de la función siendo X>0.
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Creo que un ejemplo podría ayudar: por ejemplo si en los reales no negativos $y=4x^2$ entonces la función inversa sería $y=\frac12\sqrt{x}$ . Usted parece estar preguntando si en lugar de resolver $4x^2=\frac12\sqrt{x}$ o $16x^4=\frac14 x$ puedes resolver $4x^2 = x$ .
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@Henry, sí lo siento
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La respuesta a la pregunta del título es No: $f(x)=-1/x$ se encuentra con su inversa (que resulta ser ella misma) en infinitos puntos, ninguno de los cuales se encuentra en el punto $y=x$ línea. Mi explicación más completa (y prueba de la proposición corregida) es aquí .