La serie como una integral (estudiante de segundo año del sueño)

Question

Necesito ayuda con este ejercicio.

Tengo que probar $$\int_{0}^{1}x^{-x}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-n}$$

Creo que debería usar teorema de convergencia, pero estoy atascado.

Muchas gracias!

Answer 1

Aquí os dejo el esquema. Abajo tienes la solución completa.

$(1)$ Tenga en cuenta que $$x^{-x}=e^{-x\log x }$$ $(2)$ $$e^u=\sum_{n=0}^\infty\frac{ u^n}{n!}$$ El uso de este con $u=-x\log x$

$(3)$ Desde el poder de la serie converge uniformemente a lo largo de $[0,1]$; podemos integrar termwise.
$(4)$ Usted necesita para evaluar $$\vartheta(n)=\int_0^1(-\log x)^n \frac{x^n}{n!}dx$$ $(5)$ Hacer el cambio de variable $-\log x\mapsto u$ y, a continuación, $(n+1)u\mapsto v$

$(6)$ Usted debe encontrar que el $$ \vartheta(n)= \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}$$ Usted necesitará el hecho de que $$\Gamma(n+1)=\int_0^\infty {{v^n}{e^{ - v}}} dv=n!$$

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Tenga en cuenta que $$x^{-x}=e^{-x\log x }$$

Por lo tanto, usted está interesado en $$\int_0^1 e^{-x\log x } dx$$

Ahora, por cada $x\in \Bbb R$, es válido que

$$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{ x^n}{n!}$$

Especialmente

$$e^{-x \log x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{ (-x\log x)^n}{n!}$$

Este es $$e^{-x \log x}=\sum_{n=0}^\infty (-\log x)^n \frac{x^n}{n!}$$

Puesto que el poder de la serie converge uniformemente a lo largo de $[0,1]$; podemos integrar termwise, para obtener

por lo tanto, estamos interesados en $$\vartheta(n)=\int_0^1(-\log x)^n \frac{x^n}{n!}dx$$

Hacer un cambio de variable $-\log x\mapsto u$, para obtener

$$\vartheta(n)=\frac{1}{{n!}}\int_0^\infty {{u^n}{e^{ - \left( {n + 1} \right)u}}} du$$

Una vez más, $(n+1)u\mapsto v$, por lo que

$$\begin{align} \vartheta(n)&=\frac{1}{{n!}}\int_0^\infty {\frac{{{v^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^n}}}{e^{ - v}}} \frac{{dv}}{{n + 1}}\\ &= \frac{1}{{n!}}\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}\int_0^\infty {{v^n}{e^{ - v}}} dv ^{\color{red}{(1)}} \cr \\&= \frac{1}{{n!}}\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}n! \cr \\&= \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}} \end{align} $$

Por lo tanto, usted consigue $$\int_0^1 {{x^{ - x}}} dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^n}}}} $$

como se desee.

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$\color{red}{(1)}$ Esta es la famosa $\Gamma$ función. Natural de la $n$, $$\int_0^\infty {{v^n}{e^{ - v}}} dv=n!$ $ Esto puede ser demostrado por inducción y la integración por partes.

Answer 2

Este es un resultado conocido y recuerdo probando en un curso de cálculo vectorial. Es difícil buscar en Google si usted no sabe cómo se llama. Esto, y una identidad similar que se conoce como el segundo del sueño y la prueba está dado aquí. Usted necesidad de utilizar un truco de sustitución para reescribir la integral usando la función gammaporque $$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty y^n e^{-y} dy = n!.$$

Answer 3

Deje $\displaystyle I(\lambda) = \int_{0}^{1}x^{\lambda}\;{dx} = \frac{1}{1+\lambda}.$ Diferenciación de este w.r.t. $\lambda$ obtenemos:

$\displaystyle I^{(n)}(\lambda) = \int_{0}^{1}x^{\lambda}\ln^{n}{x}\;{dx} = \frac{(-1)^nn!}{(1+\lambda)^{n+1}}$ -- y por lo tanto tenemos:

$\displaystyle \int_{0}^{1} x^{-x} \;{dx} = \sum_{n \ge 0}\frac{(-1)^n}{n!} \int_{0}^{1}x^n\ln^n{x}\;{dx} = \sum_{n \ge 0}\frac{1}{(1+n)^{n+1}}$

y $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{x} \;{dx} = \sum_{n \ge 0}\frac{1}{n!} \int_{0}^{1}x^n\ln^n{x}\;{dx} = \sum_{n \ge 0}\frac{(-1)^n}{(1+n)^{n+1}}$.