Un módulo es proyectiva fib tiene una base proyectiva

Question

Tengo una pregunta relacionada con esto: módulos Proyectivos

Estoy tratando de comprender la "filosofía" de la declaración, porque parece demasiado similar a la declaración de "un módulo es gratuito iff cada elemento puede escribirse de forma única como combinación lineal finita de elementos de una base".

Es este "proyectiva" propiedad diciendo esto:

un módulo P es proyectivo si cada elemento de P se puede escribir como una combinación lineal finita de algunos de los elementos de P?

Perdemos la singularidad de la expresión como una suma: en los elementos de P, en los elementos de R, y en el número de términos (de modo que el concepto de "rango" no tendría sentido). Es todo esto, o soy yo la incomprensión de la declaración?

Cualquier otra intuición relativa a que la propiedad es también apreciado.

Answer 1

La declaración estás enlazando a es: Un módulo de $P$ es proyectivo si y sólo si hay una familia $\{x_{i}\}_{i \in I} \subset P$ y morfismos $f_{i}: P \to R$ tal que para cada una de las $x \in P$ tenemos $x = \sum_{i \in I} f_{i}(x) x_{i}$. La última declaración dice tres cosas:

1. En fin, por la suma de sentido debemos tener para todos los $x$ el conjunto $\{i\,:\,f_{i}(x) \neq 0 \}$ es finito. O, como se dijo allí: para todos los $x$ tenemos $f_{i}(x) = 0$ en casi todas las $i$.
2. El conjunto $(x_{i})_{i \in I}$ genera $P$. En otras palabras, el mapa de $g: \bigoplus_{i \in I} R \to M$ envío de $(r_{i})$ $\sum_{i \in I} r_{i} x_{i}$es un epimorphism (basta con retirar $r_{i} = f_{i}(x)$ a ver que este mapa está en).
3. El epimorphism $g$ divide: no es un derecho inverso $f: P \to \bigoplus_{i \in I} R$$g$, es decir, $gf = \operatorname{id}_{P}$ (este de morfismos $f$ es de la forma $(f_{i})_{i \in I}$ con morfismos $f_{i}: P \to R$ y por la definición de una suma directa tenemos $f_{i}(x) \neq 0$ sólo para un número finito de $i$).

En mi opinión es sólo una muy explícito manera de expresar mucho más pegadizo "de un módulo es proyectivo si y sólo si es un sumando directo de un módulo".

Answer 2

La afirmación "cada elemento de P se puede escribir como una combinación lineal finita de algunos elementos de la P.", donde "algunos" significa un conjunto finito, sólo dice que el módulo es finitely generado.

Esto no tiene nada que ver con ser proyectiva.

Tomemos por ejemplo el $\mathbb Z$-módulo de $\mathbb Z/2$. Aquí cada elemento puede ser escrito como un múltiplo de $[1]$. Por lo $\mathbb Z/2$ es finitely generados pero no proyectiva.

Por otro lado la infinita suma directa de $\bigoplus_{\mathbb N}\mathbb Z$ es un proyectiva $\mathbb Z$-módulo que no es finitely generado.

Lo crucial en la definición de una base proyectiva es realmente lo que usted tiene homomorphisms de $P$ en el anillo (considerado como un módulo más de sí).

Answer 3

El fraseo de su declaración

un módulo P es proyectivo si cada elemento de P se puede escribir como una combinación lineal finita de algunos de los elementos de P

es bastante malo, porque no es en absoluto evidente de que los algunos de los elementos son fijos: ¿a qué te refieres, pero no es lo que usted escribió, probablemente es

un módulo es proyectivo si hay un conjunto $X\subseteq P$ de manera tal que cada elemento de a $P$ es una combinación finita de elementos de $X$.

Ahora, esta última afirmación es falsa: siempre puedes coger $X=P$, por lo que su verdad implicaría que todos los módulos son proyectivos---y hay anillos que tienen los no-proyectiva módulos!