Me encontré con esta integral en un libro. No entiendo cómo el autor escribe la siguiente expresión.
$$\int_0^T \int_0^T \min(t,s)\, dt\, ds = \int_0^T \left(\int_0^s t\, dt + \int_s^T s \,dt\right) ds $$
Respuestas
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Considere la posibilidad de $\min(s,t)$ como una función de la $t$: su valor es $t$ al $t\le s$, e $s$ al $t\ge s$. Por lo tanto, puede ser descrito como $$\min(s,t)=\begin{cases}t,&0\le t\le s\\ s,&s\le t\le T\;. \end{casos}$$
La integración de este con respecto a $t$ sobre el intervalo de $[0,T]$ da
$$\int_0^s t\, dt + \int_s^T s \,dt\;,$$
que es por tanto el mismo como $$\int_0^T \min(t,s)\, dt\;.$$
clintp
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Al dividir el intervalo de integración se consigue $$ \int_0^T \min(t,s)\, dt\ = \int_0^s \min(t,s)\, dt + \int_s^T \min(t,s) \,dt$$ y señalando que, cuando $0\leq t\leq s$ tenemos $\min(t,s)=t$ e al $s\leq t\leq T$ tenemos $\min(t,s)=s$ obtenemos que $$\int_0^s \min(t,s)\, dt + \int_s^T \min(t,s) \,dt=\int_0^s t\, dt + \int_s^T s \,dt$$ por lo tanto la integración de $0$ $T$con respecto al $s$ da $$\int_0^T \int_0^T \min(t,s)\, dt\, ds = \int_0^T \left(\int_0^s t\, dt + \int_s^T s \,dt\right) ds .$$
