¿Fórmula interesante para la constante de Euler-Mascheroni?

Question

Jugando con Wolfram Alpha-10%5E30) encontré una posible fórmula para la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$: $$ \lim_{x \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+1/x}} - x = \gamma $$ Esto también se puede escribir en términos de la función Zeta de Riemann como $$ \lim_{x \to \infty}\zeta(1+\frac{1}{x}) - x = \gamma $$ Me parece notable, porque esto parece implicar que $\zeta(1)$ es "un poco más grande que el infinito" $$ \infty + \gamma = \zeta(1) $$ ¿Realmente esta es una fórmula válida para $\gamma$?

Actualización: Curiosamente también encontré una fórmula similar para la función Gamma $$ \lim_{x \to \infty}\Gamma(\frac{1}{x}) - x = -\gamma $$ Combinar ambas ecuaciones genera nuevamente una fórmula interesante $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}\left(\zeta(1+\frac{1}{x}) - \Gamma(\frac{1}{x})\right) = \gamma $$

Answer 1

Su observación proviene de la expansión de la serie de Laurent de la función zeta de Riemann cerca de $1$ (ver aquí), dando, cuando $t \to 0^+$, $$ \zeta(1+t) = \frac{1}{t} + \gamma + o(1) $$ luego simplemente establezca $t=\dfrac1x$ con $x \to \infty$.

Answer 2

$\lim_{x \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+1/x}} - x = \gamma$

Veamos las sumas parciales.

$\begin{array}\\ \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n^{1+1/x}} &=\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n}\frac{1}{n^{1/x}}\\ &=\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n}e^{-\ln n/x}\\ &\approx \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n}(1-\ln n/x) \qquad\text{para } x \text{ grande}\\ &= \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n}-\frac1{x}\sum_{n=1}^{m}\frac{\ln n}{n}\\ &= \ln(m)+\gamma+o(1)-\frac1{x}\sum_{n=1}^{m}\frac{\ln n}{n}\\ &= \ln(m)+\gamma+o(1)-\frac1{x}(\frac{\ln^2(m)}{2}+O(1)) \qquad(*)\\ &= \ln(m)+\gamma+o(1)-\frac{\ln^2(m)}{2x}+O(\frac1{x})\\ &= \ln(m)+\gamma+o(1)-\frac{\ln^2(m)}{2x}+O(\frac1{x})\\ \end{array} $

Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n^{1+1/x}} -\ln(m)-\gamma =o(1)-\frac{\ln^2(m)}{2x}+O(\frac1{x}) $

(*) http://www.maths.lancs.ac.uk/~jameson/emnotes.pdf, p. 14