Demostrar que $(n-m) \mid (n^r - m^r)$

Question

En el respeto a un mayor prueba que necesita para demostrar que $(n-m) \mid (n^r - m^r) $ (donde $\mid$ significa que divide, es decir, $a \mid b$ significa que $b$ módulo $a$ = $0$). He jugado un poco con esto por un tiempo, pero fue en vano y estaría agradecido si usted me podría ayudar.

Answer 1

Hay varias maneras de probar esto. Por ejemplo, uno puede usar el teorema del binomio $(a+b)^r=\sum_{k=1}^r\binom{k}ra^kb^{n-k}$$a=n-m$$b=m$. (El cambio de las variables de $n,m$ $a,b$es en sí misma una buena idea en este tipo de problemas, ya que tiende a reducir el tamaño de algunas de las expresiones.)

Otro método es utilizar la identidad de $$n^r-m^r=(n-m)\sum_{k=0}^{r-1}n^{r-1-k}m^k=(n-m)(n^{r-1}+n^{r-2}m+\dots+nm^{r-2}+m^{r-1}).$$

Estas dos identidades que demuestre por inducción en $r$.

O, se puede hacer directamente un argumento inductivo: El resultado es claro si $r=0$, ya que el $n^r-m^r=0$. Dado el resultado de $r$, probarlo para $r+1$ el uso de, por ejemplo, que el $n^{r+1}-m^{r+1}=n(n^r-m^r)+m^r(n-m)$.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ modulo $\rm\ n-m\ $ ha $\rm\ n\equiv m\ \Rightarrow\ n^r \:\equiv\: m^r\ $ por la congruencia de los productos de la regla.

Answer 3

Esta es una simple suma telescópica truco: \[ n^{r} - m^{r} = (n-m) \sum_{k=1}^{r} n^{r-k}m^{k-1} = (n - m)(n^{i-1} + n^{r-2}m + \cdots +nm^{r-2} + m^{i-1}). \]

Answer 4

SUGERENCIA $\ $ $\rm\ n\to n+m\ $ $\rm\ n\ |\ (n+m)^r - m^r\ $ que es evidente por el teorema del binomio.

Nota $\ $ por encima de La prueba surge de la siguiente trivial simetría inspirado en la prueba de la

Factor Teorema $\rm\ \ \ \ x - m \ |\ P(x) - P(m)\ $ $\rm\: R[x]\:,\ $ por cada anillo $\rm\:R\:.$

Prueba de $\ $ si $\rm\ m = 0\::\ \ x\ |\ P(x)-P(0)\:.\: $ Else reducir a $\rm\ m = 0\ $ por el cambio de $\rm\ x\to x+m\:.\ $ QED

La prueba explota una innata simetría - el problema es invariante bajo cambio de automorfismos. Por lo tanto, con suerte, podemos aplicar estas simetrías para reducir el problema a una mucho más simple.

Answer 5

SUGERENCIA $\ $ Puesto $\rm\ P(x) = x^r,\ \ x = n\ $ $\rm\ x-m\ |\ P(x)-P(m)\ $ $\rm\ \mathbb Z[x]\ $ (el Teorema de Factor)