Condición para el cuarto grado de polinomio de coeficientes dado al menos una raíz real

Question

Encontrar el mínimo valor posible de $a^2+b^2$ donde $a$, $b$ son dos números reales tales que el polinomio $$x^4+ax^3+bx^2+ax+1,$$ tiene al menos una raíz real.

Mi intento: sea p una raíz real. Por lo tanto,$p^4 + a(p^3) + b(p^2) + ap + 1 = 0$.

Dividir ambos lados por $p^2$, señalando que $p$ no puede ser cero, ya $P(0) = 1$, obtenemos $$p^2 + ap + b + a/p + 1/(p^2) = 0.$$

He reorganizado en un cuadrática; es decir, $$(p+1/p)^2 + a(p+1/p) + (b-2) = 0.$$

Si $p$ es real, $p+1/p$ es real, tan discriminante es negativo. configuración discriminante $\geq0$, me sale:

$$a^2 - 4(b-2)\geq0,$$

$$a^2 \geq 4b-8,$$

$$a^2 + b^2 \geq b^2 + 4b - 8 = (b+2)^2 - 12 \geq -12$$ Pero esto es inútil porque es obvio $a^2 + b^2 \geq 0$.

Creo que es porque también necesito usar el hecho de que $|p+1/p| \geq 2$, sin embargo estoy seguro de cómo utilizar esta desigualdad con el discriminante.

Gracias de antemano

Answer 1

Sugerencia:

Poner $t=x+\frac{1}{x}$, entonces:

$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ tiene una raíz real si y sólo si $t^2+at+(b-2)=0$ tiene una raíz real $t$ tal que $|t| \ge 2$, que es equivalente a \begin{equation}\tag{*} \left[\begin{matrix} \frac{-a-\sqrt{a^2-4(b-2)}}{2} \le -2 \\ \frac{-a+\sqrt{a^2-4(b-2)}}{2} \ge 2 \end{de la matriz}\right. \end{equation}

El uso de este: $$A \le \sqrt{B} \Longleftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} B \ge 0 \\ A < 0 \end{de la matriz}\right. \\ \left\{\begin{matrix} A \ge 0 \\ A^2 \le B \end{de la matriz}\right. \end{matriz}\right. $$

Después de algunas operaciones, tenemos $(*)$ es equivalente a

$$\left[\begin{matrix} (1)\left\{\begin{matrix} a \ge 4 \\ a^2-4(b-2) \ge 0 \end{de la matriz}\right. \\ (2)\left\{\begin{matrix} a \le -4 \\ a^2-4(b-2) \ge 0 \end{de la matriz}\right. \\ (3)\left\{\begin{matrix} a < 4 \\ 2a -b \ge 2 \end{de la matriz}\right. \\ (4)\left\{\begin{matrix} a > -4 \\ 2a+b \le -2 \end{de la matriz}\right. \end{matriz}\right.$$

Para $(1)$ y $(2)$: $a^2+b^2 \ge 4^2+0 =16$.

Para $(3)$: el uso de $5(a^2+b^2) = (2a-b)^2+(a+2b)^2$ tenemos $a^2+b^2 \ge \frac{4}{5}$, alcanzado al $a=\frac{4}{5},b=-\frac{2}{5}$.

Para $(4)$: el uso de $5(a^2+b^2) = (2a+b)^2+(a-2b)^2$ tenemos $a^2+b^2 \ge \frac{4}{5}$, alcanzado al $a=-\frac{4}{5},b=-\frac{2}{5}$.

Conclusión: el valor mínimo de $a^2+b^2$$\frac{4}{5}$, alcanzado al $(a,b)=\left(\pm\frac{4}{5},-\frac{2}{5}\right)$.

Answer 2

La sustitución de $a$ $-a$ sólo cambia los signos de los ceros, por lo que w.l.o.g. podemos suponer que $a\ge0$. El cuadrática con el desconocido $p+1/p$ (buen truco, por CIERTO!) que derivado de da $$ p+\frac1p=\frac {- \pm\sqrt{a^2-4(b-2)}}2. $$ Dado el supuesto de $a\ge0$ vemos que de estas dos alternativas de la solución con un signo menos da el mayor valor de a $|p+1/p|$. Por lo tanto, la condición de $|p+1/p|\ge2$, ahora a escribir como $p+1/p\le-2$, nos da otra restricción $$ -un-\sqrt{a^2-4(b-2)}\le-4. $$ Esto es equivalente a $$ 4-un\le\sqrt{a^2-4(b-2)}.\qquad(*) $$ Vamos a ver que hay de soluciones de con $a^2+b^2<16$, por lo que w.l.o.g. podemos suponer que $a<4$, lo $4-a>0$ y podemos cuadrado ambos lados de $(*)$ llegando a $$ 16-8a+a^2\le a^2-4b+8\implica un\ge (b+2)/2. $$ De nuevo, la evolución posterior revela que $b+2$ debe ser positivo en el tratado de minimium, a fin de minimizar $a^2$ debemos tener igualdad de aquí, es decir,$a=(b+2)/2$. Así que realmente queremos minimizar $$ a^2+b^2=\frac14[(b+2)^2+4b^2]=\frac14[5b^2+4b+4]. $$ Es trivial demostrar que esta tiene un mínimo en $b=-2/5$. La correspondiente $a=(b+2)/2=4/5$, y en este punto tenemos $$ a^2+b^2=\frac{4^2+2^2}{25}=\frac45. $$

Si bien la hipótesis de $4-a\ge0$ o de la suposición $b+2\ge0$ (que hice mientras estaba buscando este candidato punto) no son válidas, entonces claramente $a^2+b^2$ tendrían un mayor valor, por lo que podemos descartar esas posibilidades.

Como comprobación final, podemos ver que cuando $a=4/5, b=-2/5$ su polinomio tiene una doble raíz en $x=-1$, no de forma inesperada coincidencia con $p+1/p=-2$.