Demuestre que todas las soluciones de este mapa tienden a infinito

Question

Sea $r4$ sea un intger positivo. Consideremos la ecuación de diferencia no autónoma: $$u_{n+1}=(1+r^{2n+1})u_{n}-r^{2n-1}u_{n-1}+2 \tag{*}$$

Todas las soluciones de $(*)$ tienen la forma: $$u_{n}=\sum_{m=1}^{n}\left(2(m-1)+u_1-ru_0\right)r^{n^2-m^2}+u_0r^{n^2}$$ donde $u_0,u_1$ son las condiciones iniciales.

Tengo lo siguiente preguntas :

1) Demuestre que todas las soluciones de (*) tienden a infinito.

2) Encontrar las condiciones suficientes y necesarias en las que $u_{n}$ es un número entero

Answer 1

Factoring, $$u_n = r^{n^2} \left( u_0 + \sum_{m=1}^n (2m-2+u_1-r u_0) r^{-m^2} \right)$$

Si $r > 1$ entonces por la prueba de razón la suma converge como $n \to \infty$ y así $u_n \to \infty$ porque es el límite de $r^{n^2}$ por una constante. Para ver esto más fácilmente, observe que $\sum_{m=1}^{\infty} a r^{-m^2}$ converge por la prueba de razón, por lo que en realidad sólo tenemos que considerar $\sum_{m=1}^{\infty} m r^{-m^2}$ . Que converge también por la prueba de la proporción.

Ahora, $u_n$ es un número entero si $u_0$ y $u_1$ son, por la ecuación de recurrencia. En efecto, si dos $u_i$ son ambos enteros, entonces todos los $u_i$ son.

Aún no he encontrado una condición necesaria.