Cuando me enteré de la existencia de la representación de un número complejo por un punto en un $2D$ plano, me preguntaba: ¿y si es redundante? ¿Qué pasa si una línea es suficiente?
Al parecer, no lo es, pero todavía me pregunto: ¿qué es la prueba de ello? Cuando fue el hecho de que primero se dieron cuenta? O era totalmente obvio desde el inicio del desarrollo de la teoría de los números complejos?
La historia
Los números complejos se introdujeron por Cardán (Girolamo Cardano) en su Ars Magna en 1545.
Estaban, sin embargo, sólo se describe puramente algebraica como un medio para resolver ecuaciones polinómicas de grado 3 o 4.
La primera descripción geométrica de $\mathbb C$ como puntos de un avión fue dado en el año 1799 por Wessel, un danés cartógrafo, y de forma independiente por Argand', un Suizo-francés propietario de la librería, en 1806.
Argand'también fue el primero en probar el "teorema fundamental del álgebra", según el cual un real polinomio no constante tiene al menos un complejo de raíz y él fue el primero en notar que el teorema se aplica también a los polinomios con coeficientes complejos.
Hechos
El campo $\mathbb C$ tiene dimensión 2 (es decir, es un avión) como un verdadero espacio vectorial : este es un resultado fácil.
También tiene dimensión 2 como un diferencial de colector, la cual es un poco más difícil de mostrar.
Tiene dimensión 2 como un espacio topológico: esto es realmente difícil, ya que ya la noción de dimensión topológica es bastante sofisticado.
Conclusión
Para resumir y responder una de sus preguntas:
No definitivamente no era "totalmente obvio desde el inicio del desarrollo de la teoría de los números complejos" que tiene dimensión dos.
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