Estoy tratando de encontrar el límite de
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{3x}}{x}$$
No tengo idea de lo que debo hacer. Sé la identidad que,
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x} = 1$$
pero eso no va a ser lo suficientemente bueno en una prueba y yo no estoy seguro de por qué esto es cierto de todos modos. No sé cómo se supone que debo continuar con este problema.
En general,
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{Ax}}{x} = A$$
La reescritura de $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{Ax}}{x}$
$$ A\lim_{x\to 0}\frac{\sin{Ax}}{Ax}$$ (which is legal since an $$ Plazo anularía el del denominador, lo que nos deja nuestra original.)
Dejar que una variable, por ejemplo, $s = Ax$, tenemos: $$A\lim_{x\to 0}\frac{\sin{s}}{s}$$
A partir de aquí, tenga en cuenta que como $x$$0$, por lo que no $s$. Usando el bien conocido el hecho de que $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1$$
Tenemos $$A\cdot1$$ which concludes that $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{Ax}}{x} = A$$
Así, su límite es $3.$
Aquí nos'are va a apelar a un muy conocido de la desigualdad:
$$ \sin(x) < x < \tan(x),\space 0<x<\frac{\pi}{2}$$
En tu caso, tienes que:
$$ \sin(3x) < 3x < \tan(3x),\space 0<x<\frac{\pi}{6}$$
De la desigualdad anterior obtenemos que: $$\cos(3x) < \frac{\sin(3x)}{3x}< 1$$ Después de multiplicar la desigualdad por 3 y tomando el límite cuando x pasa de a ${0}$ tenemos que:
$$\lim_{x\rightarrow0}3\cos(3x) \leq \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(3x)}{x} \leq 3$$
Por el Teorema del sándwich, el límite es de $3$.
La prueba está completa.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
